Pembahasan Soal Sbmptn Matematika Persamaan Kuadrat

1. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x² - 3x + n = 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat x² + x - n = 0, maka nilai n ialah ....

   A. 8	D. -8
   B. 6	E. -10
   C. -2

   
   Pembahasan :
   Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x² - 3x + n = 0 ialah p dan q, sedangkan akar-akar persamaan kuadrat x² + x - n = 0 ialah u dan v. 
   
   Sebagai langkah awal, mari kita cerna kalimat dalam soal tersebut. Jumlah kuadrat akar persamaan kuadrat pertama sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, dalam bentuk matematika sanggup kita tulis sebagai diberikut :
   ⇒ Jumlah kuadrat akar = jumlah pangkat tiga akar
   ⇒ p² + q² = u³ + v³
   
   Selanjutnya, kita mencari nilai masing-masing ruas. Perhatikan tahap pengerjaan di bawah ini!

Persamaan kuadrat  pertama 
x² - 3x + n = 0
Dik : a = 1, b = -3, c = n

Jumlah akar :
⇒ p + q = ^-b⁄_a
⇒ p + q = ³⁄₁
⇒ p + q = 3

Hasil kali akar :
⇒ p.q = ^c⁄_a
⇒ p.q = ⁿ⁄₁
⇒ p.q = n

Jumlah kuadrat akar-akarnya :
⇒ p² + q² = (p + q)² - 2p.q
⇒ p² + q² = (3)² - 2(n)
⇒ p² + q² = 9 - 2n .......(1)

Persamaan kuadrat kedua
x² + x - n = 0
Dik : a = 1, b = 1, c = -n

Jumlah akar :
⇒ u + v = ^-b⁄_a
⇒ u + v = ^-1⁄₁
⇒ u + v = -1

Hasil kali akar :
⇒ u.v = ^c⁄_a
⇒ u.v = ^-n⁄₁
⇒ u.v = -n

Jumlah pangkat tiga akar-akarnya :
⇒ u³ + v³ = (u + v)³ - 3u.v (u + v)
⇒ u³ + v³ = (-1)³ - 3(-n) (-1)
⇒ u³ + v³ = -1 - 3n .... (2)

Karena persamaan (1) dan (2) bernilai sama, maka berlaku :
⇒ p² + q² = u³ + v³
⇒ 9 - 2n = -1 - 3n
⇒ -2n + 3n = -1 - 9
⇒ n = -10
Jadi, nilai n ialah -10.

Sebenarnya, langkah pengerjaan soal di atas cukup sederhana. Intinya, cari jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat pertama, cari jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, kemudian tentukan nilai n menurut prinsip persamaan.

Langkah panjang di atas ialah upaya kami untuk mengambarkan pembahasan soal sedetail mungkin supaya praktis dipahami. Jika pembagian terstruktur mengenai rumus jumlah kuadrat dan jumlah pangkat tiga akar-akar masih bingung, engkau sanggup membaca postingan ihwal Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat untuk pembagian terstruktur mengenai lebih rinci

Jawaban : E

2. Jika α dan β ialah akar-akar real persamaan diberikut :

   x2 + x =	2
   	x2 + x + 1

   maka nilai α.β ialah ......
   

   2 atau -1 -2 atau 1 -2 atau -1 -2 -1

   
   Pembahasan : 
   Kita misalkan x² + x = p, sehingga persamaannya menjadi :
   

   ⇒ p =	2
   	p + 1

   ⇒ p(p + 1) = 2
   ⇒ p² + p - 2 = 0
   ⇒ (p + 2)(p - 1) = 0
   ⇒ p = -2 atau p = 1
   
   Sekarang kita kembalikan pemisalan tadi.
   Untuk p = -2
   ⇒ x² + x = p
   ⇒ x² + x = -2
   ⇒ x² + x + 2 = 0
   
   Untuk mengetahui apakah akar-akar persamaan kuadrat tersebut real atau tidak, maka kita cek nilai diskriminannya.
   ⇒ D = b² - 4ac
   ⇒ D = 1² - 4(1)(2)
   ⇒ D = 1 - 8
   ⇒ D = -7 < 0
   
   Ingat bahwa syarat supaya akar-akarnya real, nilai D harus lebih besar sama dengan nol (D ≥ 0). Untuk teori lebih rinci, engkau sanggup baca artikel Sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat. Karena D < 0, maka akar-akarnya tidak real dengan begitu nilai p = -2 tidak memenuhi.
   
   Untuk p = 1
   ⇒ x² + x = p
   ⇒ x² + x = 1
   ⇒ x² + x - 1 = 0
   
   melaluiataubersamaini cara yang sama kita tentukan diskriminannya :
   ⇒ D = b² - 4ac
   ⇒ D = 1² - 4(1)(-1)
   ⇒ D = 1 + 4
   ⇒ D = 5 > 0
   Karena D > 0, maka akarnya real.
   
   melaluiataubersamaini demikian, persamaan yang memenuhi ialah x² + x - 1 = 0. Dari persamaan tersebut, kita peroleh hasil kali akar sebagai diberikut :
   ⇒ α.β = ^c⁄_a
   ⇒ α.β = ^-1⁄₁ 
   ⇒ α.β = -1
   

   Jawaban : E