Menentukan Rumus Suku Ke-N Dan Beda Barisan Konsep Turunan

.com - Penggunaan Konsep Turunan dalam Deret Aritmatika. Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi sudah memaparkan bahwa persamaan rumus jumlah n suku pertama (Sn) sanggup ditetapkan dalam bentuk fungsi kuadrat dalam variabel n. Sebelumnya juga sudah dibahas bahwa rumus suku ke-n dan beda barisan sanggup ditentukan menurut rumus jumlah n suku pertamanya. Nah, kalau rumus jumlah n suku pertama tersebut ditetapkan dalam bentuk fungsi kuadrat, ternyata kita sanggup memanfaatkan konsep turunan untuk menentukan rumus suku ke-n dan beda barisan tersebut. Pada pembahasan ini, edutafsi akan mengulas bagaimana cara menentukan rumus suku ke-n dan beda barisan aritmatika dengan konsep turunan kalau rumus Sn dintakan sebagai fungsi kuadrat.

melaluiataubersamaini memakai konsep turuan (differensial), kita sanggup menentukan rumus suku ke-n dan beda barisan aritmatika dengan beberapa langkah praktis dengan catatan, rumus jumlah n suku pertamanya ditetapkan dalam bentuk fungsi kuadrat (Sn = An² + Bn). Sebelum mengulas bagaimana caranya, ada baiknya kita mengingat kembali bagaimana prinsip atau konsep turunan fungsi.

Turunan atau differensial ialah salah satu proses menurunkan suatu fungsi terhadap variabel tertentu. Misalkan y ialah sebuah fungsi daalam variabel x atau y = f(x), dan y ialah fungsi yang sanggup diturunkan pada setiap titik, maka turunan pertama fungsi y terhadap x umumnya ditulis sebagai dy/dx atau y' atau f '(x).

Turunan pertama dari sebuah fungsi f(x) terhadap x sanggup ditulis sebagai :
⇒ f '(x) = dy/dx = df(x)/dx

Misal sebuah fungsi ditetapkan dalam bentuk f(x) = axⁿ + bx, maka turunan pertama dari fungsi tersebut sanggup ditulis sebagai diberikut :
⇒ f '(x) = df(x)/dx = d(axⁿ + bx)/dx
⇒ f '(x) = n.ax^n-1 + b

misal :
Tentukan turunan pertama dari fungsi diberikut ini :
a). f(x) = 4x³ + 5x
b). y = 2x² - 9x
c). Sn = An² + Bn

Pembahasan :
a). f '(x) = 3.4 x^3-1 + 5 = 12 x² + 5
b). y' = 2.2 x^2-1 - 9 = 4x - 9
c). Sn' = 2.An^2-1 + B = 2 An + B.

A. Menentukan Un Jika Sn ditetapkan Dalam Fungsi Kuadrat

Jika rumus jumlah n suku pertama (Sn) ditetapkan dalam bentuk fungsi kuadrat dalam variabel n, maka rumus suku ke-n barisan tersebut ialah turunan pertama Sn dikurang dengan setengah kali turunan kedua Sn.

Rumus Sn sanggup ditetapkan dalam bentuk fungsi kuadrat sebagai diberikut :
⇒ Sn = F(n) = An² + Bn

Turunan pertama dari fungsi tersebut ialah :
⇒ Sn' = 2 An + B

Turunan kedua dari fungsi tersebut ialah :
⇒ Sn'' = 2A

Maka, rumus suku ke-n deret tersebut ialah :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 2 An + B - ½(2A)
⇒ Un = 2 An + (B - A)

Jadi, ada dua rumus yang sanggup digunakan, yaitu :

Un = Sn' − ½Sn''

Un = 2 An + (B - A)

melaluiataubersamaini Un menyatakan rumus suku ke-n barisan aritmatika, n menyatakan banyak suku (sebagai variabel), A dan B ialah bilangan tertentu yang sanggup dilihat melalui persamaan dalam soal. Untuk memahami pemakaian rumus tersebut, perhatikan teladan diberikut ini.

misal : 
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditetapkan oleh Sn = 5n² + 2n, maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut.

Pembahasan :
Dik : Sn = 5n² + 2n
Dit : Un = ... ?

Teknik Pertama :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = (10n + 2) - ½(10)
⇒ Un = 10n + 2 - 5
⇒ Un = 10n - 3

Teknik Kedua :
Dari fungsi Sn = 5n² + 2n, diketahui A = 5, B = 2 (Perhatikan bentuk Sn = An² + Bn).
⇒ Un = 2 An + (B - A)
⇒ Un = 2.5n + (2 - 5)
⇒ Un = 10n - 3

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut ialah Un = 10n - 3. Bandingkan hasil pada cara pertama dan cara kedua.

B. Menentukan Beda Barisan melaluiataubersamaini Konsep Turunan

Jika rumus jumlah n suku pertama (Sn) suatu deret aritmatika ditetapkan dalam bentuk fungsi kuadrat dalam variabel n, maka beda barisan atau beda deret aritmatika tersebut akan sama dengan turunan kedua Sn.

Rumus Sn sanggup ditetapkan dalam bentuk fungsi kuadrat sebagai diberikut :
⇒ Sn = F(n) = An² + Bn

Turunan pertama dari fungsi tersebut ialah :
⇒ Sn' = 2 An + B

Turunan kedua dari fungsi tersebut ialah :
⇒ Sn'' = 2A

Maka, beda barisan sanggup ditentukan dengan rumus :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 2 A

Jadi, ada dua rumus yang sanggup digunakan, yaitu :

b = Sn''

b = 2 A

melaluiataubersamaini b menyatakan beda barisan aritmatika, Sn'' menyatakan turunan kedua dari Sn, dan A ialah bilangan tertentu yang sanggup dilihat melalui persamaan dalam soal. Untuk memahami pemakaian rumus tersebut, perhatikan teladan diberikut ini.

misal :
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditetapkan oleh Sn = 3n² + 5n, maka tentukanlah beda barisan tersebut.

Pembahasan :
Dik : Sn = 3n² + 5n
Dit : b = ... ?

Teknik Pertama :
Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 6n + 5

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 6

Beda barisan tersebut ialah :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 6

Teknik Kedua :
Dari fungsi Sn = 3n² + 5n, diketahui A = 3 dan B = 5
⇒ b = 2A
⇒ b = 2(3)
⇒ b = 6

Jadi, beda barisan tersebut ialah 6. Bandingkan hasil yang diperoleh melalui cara pertama dan cara kedua. Anda sanggup menentukan salah satu cara yang paling anda anggap praktis sesuai dengan pemahaman anda.

Demikianlah pembahasan singkat terkena cara menentukan suku ke-n dan beda deret aritmatika kalau rumus Sn ditetapkan dalam bentuk fungsi kuadrat dengan memakai konsep turunan. Jika materi berguru ini bermanfaa, menolong kami membagikannya kepada mitra anda melalui tombol share di bawah ini.