Turunan Fungsi Aljabar

Definisi Turunan

Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan oleh
$$\mathrm{f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$ dengan syarat limitnya ada.

Notasi Turunan

Turunan pertama fungsi y = f(x) terhadap x sanggup dinotasikan sebagai :

• y' = f '(x)  ⇒  Lagrange   
• \(\frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}\)  ⇒  Leibniz   
• D_xy = D_x[f(x)]  ⇒  Euler   

Dari definisi diatas sanggup diturunkan rumus-rumus turunan sebagai diberikut :

1. f(x) = k  ⇒  f '(x) = 0
2. f(x) = k x  ⇒  f '(x) = k
3. f(x) = xⁿ ⇒ f '(x) = nx^n-1
4. f(x) = k u(x)  ⇒ f '(x) = k u'(x)
5. f(x) = u(x) ± v(x)  ⇒ f '(x) = u'(x) ± v'(x)

dengan k = konstan

Perhatikan contoh-contoh diberikut :
1.  f(x) = 5  ⇒  f '(x) = 0
2.  f(x) = 2x  ⇒  f '(x) = 2
3.  f(x) = x² ⇒  f '(x) = 2x^2-1 = 2x
4.  y = 2x⁴  ⇒  y' = 2. 4x^4-1 = 8x³
5.  y = 2x⁴ + x² − 2x  ⇒  y' = 8x³ + 2x − 2

Untuk memilih turunan dari fungsi yang memuat bentuk akar atau pecahan, langkah awal yang harus dilakukan yakni merubah terlebih lampau fungsi tersebut ke dalam bentuk pangkat (eksponen).
Berikut beberapa sifat akar dan pangkat yang sering dipakai :

• \(\mathrm{x^{m}.\;x^{n}=x^{m+n}}\)
• \(\mathrm{\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}}\)
• \(\mathrm{\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}}\)
• \(\mathrm{\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\)
• \(\mathrm{\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{x^{m}}}=x^{\frac{m}{n}}}\)

misal 1
Tentukan turunan dari \(f(x)=x\sqrt{x}\)

Jawab :
\(\begin{align}
f(x) = x\sqrt{x} = x\cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} \\
\end{align}\)

\(\begin{align}
f(x) = x^{\frac{3}{2}}\;\;\rightarrow\;\; f'(x) & = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} \\
& =\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \\
& =\frac{3}{2}\sqrt{x}
\end{align}\)


misal 2
Tentukan turunan dari \(f(x)=\frac{6}{\sqrt[3]{x}}\)

Jawab :
\(\begin{align}
f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{x}}= 6x^{-\frac{1}{3}} \\
\end{align}\)

\(\begin{align}
f(x) = 6x^{-\frac{1}{3}} \;\;\rightarrow\;\; f'(x)
& = 6\left ( -\frac{1}{3} \right )x^{-\frac{1}{3}-1} \\
& = -2\,x^{-\frac{4}{3}} \\
& = -\frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} \\
& = -\frac{2}{x\cdot x^{\frac{1}{3}}} \\
& = -\frac{2}{x\sqrt[3]{x}}
\end{align}\)

Turunan Perkalian dan Pembagian Dua Fungsi

Misalkan \(\mathrm{y=uv}\), maka turunan dari y sanggup ditetapkan sebagai :
$$\mathrm{y'=u'v+uv'}$$
Misalkan \(\mathrm{y=\frac{u}{v}}\), maka turunan dari y sanggup ditetapkan sebagai :
$$\mathrm{y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}}$$

misal 3
Turunan dari f(x) = (2x + 3)(x² + 2) adalah

Jawab :
Misalkan :
u = 2x + 3 ⇒ u' = 2
v = x² + 2 ⇒ v' = 2x

f '(x) = u' v + u v'
f '(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
f '(x) = 2x² + 4 + 4x² + 6x
f '(x) = 6x² + 6x + 4


misal 4

Tentukan turunan dari  \(\mathrm{y=\frac{x^2}{3x+1}}\) !

Jawab :

Misalkan :

u = x² ⇒ u' = 2x

v = 3x + 1 ⇒ v' = 3

y' = \(\mathrm{\frac{u'\,v-u\,v'}{v^2}}\)

y' = \(\mathrm{\frac{2x\,(3x+1)-x^2.\,3}{(3x+1)^2}}\)

y' = \(\mathrm{\frac{6x^2+2x-3x^2}{(3x+1)^2}}\)

y' = \(\mathrm{\frac{3x^2+2x}{(3x+1)^2}}\)

Aturan Rantai

Jika y = f(u), dengan u yakni fungsi yang sanggup diturunkan terhadap x, maka turunan y terhadap x sanggup ditetapkan dalam bentuk : $$\mathrm{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}}$$

Dari konsep hukum rantai diatas, maka  untuk y = uⁿ, akan diperoleh : $$\mathrm{\frac{dy}{dx}=\frac{d(u^{n})}{du}\times \frac{du}{dx}}$$ $$\mathrm{y'=nu^{n-1}.u'}$$

Secara umum sanggup ditetapkan sebagai diberikut :

Jika f(x) = [u(x)]ⁿ dengan u(x) yakni fungsi yang sanggup diturunkan terhadap x, maka : $$\mathbf{\mathrm{f'(x)=n\left [u(x)  \right ]^{n-1}.u'(x)}}$$

misal 5
Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1)⁴

     Jawab :
     Misalkan :
     u(x) = 2x + 1  ⇒  u'(x) = 2
     n = 4
     f '(x) = n[u(x)]^n-1 . u'(x)
     f '(x) = 4(2x + 1)^4-1 . 2
     f '(x) = 8(2x + 1)³ 

misal 6
Tentukan turunan dari y = (x² − 3x)⁷

     Jawab :
     y' = 7(x² − 3x)^7-1 . (2x − 3)
     y' = (14x − 21) . (x² − 3x)⁶

Latihan Soal Turunan Fungsi Aljabar

Latihan 1
Tentukan turunan dari \(\mathrm{y=2x^3-x^2+\frac{1}{2}x+4}\)

Jawab :
y = 2x³ − x² + \(\frac{1}{2}\)x + 4

y' = 2. 3x^3-1 − 2x^2-1 + \(\frac{1}{2}\) + 0
y' = 6x² − 2x + \(\frac{1}{2}\)


Latihan 2
Tentukan turunan dari \(\mathrm{f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}}\)

Jawab :
f(x) = x^-2 − 3x^-1

f '(x) = −2x^-2-1 − 3. (−1)x^-1-1
f '(x) = −2x^-3 + 3x^-2
f '(x) = \(\mathrm{-\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^2}}\)


Latihan 3
Jika \(\mathrm{f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x}}}\), maka nilai dari f '(4) yakni ...

Jawab :
f(x) = 2x.x\(^{-\frac{1}{2}}\)
f(x) = 2x\(^{\frac{1}{2}}\)

f '(x) = 2.\(\frac{1}{2}\)x\(^{\frac{1}{2}-1}\)
f '(x) = x\(^{-\frac{1}{2}}\)
f '(x) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{x}}}\)

f '(4) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{4}}}\)
f '(4) = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)


Latihan 4
Jika \(\mathrm{f(x)=(x^2+x+1)^4}\), nilai f '(0) adalah...

Jawab :
f '(x) = 4(x² + x + 1)^4-1 (2x + 1)
f '(x) = (8x + 4)(x² + x + 1)³

f '(0) = (8(0) + 4)((0)² + 0 + 1)³
f '(0) = 4


Latihan 5
Jika \(\mathrm{f(x)=\sqrt[4]{(4x-3)^3}}\), tentukan nilai dari f '(1)

Jawab :
f(x) = (4x − 3)\(^{\frac{3}{4}}\)

f '(x) = \(\frac{3}{4}\)(4x − 3)\(^{\frac{3}{4}-1}\). 4
f '(x) = 3(4x − 3)\(^{-\frac{1}{4}}\)
f '(x) = \(\mathrm{\frac{3}{\sqrt[4]{4x-3}}}\)

f '(1) = \(\mathrm{\frac{3}{\sqrt[4]{4(1)-3}}}\)
f '(1) = \(\mathrm{\frac{3}{1}}\)
f '(1) = 3


Latihan 6
Turunan dari \(\mathrm{f(x)=\left ( x-1 \right )^{2}\left ( 2x+3 \right )}\) adalah...

Jawab :
Misalkan :
u = (x − 1)²  ⇒ u' = 2x − 2
v = 2x + 3    ⇒ v' = 2

f '(x) = u'v + uv'
f '(x) = (2x − 2)(2x + 3) + (x − 1)². 2
f '(x) = 4x² + 2x − 6 + 2(x² − 2x + 1)
f '(x) = 4x² + 2x − 6 + 2x² − 4x + 2
f '(x) = 6x² − 2x − 4
f '(x) = (x − 1)(6x + 4)  atau
f '(x) = (2x − 2)(3x + 2)


Latihan 7
Jika \(\mathrm{y=\frac{ax+b}{cx+d}}\) ; cx + d  ≠ 0, maka turunan y terhadap x adalah ...

Jawab :
Misalkan :
u = ax + b  ⇒ u' = a
v = cx + d  ⇒ u' = c

y' = \(\mathrm{\frac{u'.v-u.v'}{v^2}}\)
y' = \(\mathrm{\frac{a(cx+d)-(ax+b)c}{(cx+d)^2}}\)
y' = \(\mathrm{\frac{acx+ad-acx-bc}{(cx+d)^2}}\)
y' = \(\mathrm{\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}}\)


Latihan 8
Carilah f '(x) kalau diketahui \(\mathrm{\frac{d}{dx}[f(2x)]=x^2}\)

Jawab :
Misalkan :
\(\mathrm{u=2x\Rightarrow x=\frac{u}{2}}\)
\(\mathrm{\Rightarrow \frac{d}{dx}[f(u)]=(\frac{u}{2})^2}\)

melaluiataubersamaini hukum rantai :
\(\mathrm{\frac{d}{dx}[f(u)]}\) = \(\mathrm{\frac{df(u)}{du}\times\frac{du}{dx}}\)

⇔ \(\mathrm{(\frac{u}{2})^2}\) = f '(u) × 2
⇔ f '(u) = \(\mathrm{\frac{1}{2}(\frac{u}{2})^2}\)
⇔ f '(u) = \(\mathrm{\frac{1}{8}u^2}\)

⇒ f '(x) = \(\mathrm{\frac{1}{8}x^2}\)