Soal Dan Pembahasan Trigonometri Cosinus Setengah Sudut

Pada peluang ini kita akan mencoba mengulas soal-soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri untuk setengah sudut (rumus sin ½α, cos ½α, dan tan ½α). Sesudah mengulas beberapa soal untuk sinus setengah sudut, sekarang kita akan mengulas beberapa soal wacana sinus setengah sudut. Sama menyerupai sinus setengah sudut, rumus cosinus setengah sudut juga diturunkan dari rumus cosinus sudut ganda.

Penggunaan rumus cos ½α untuk memilih nilai trigonometri suatu sudut sanggup dikaitkan dengan identitas-identitas trigonometri yang sudah anda pelajari. Sesudah mengulas rumus sin ½α, cos ½α, dan tan ½α, anda akan melihat dengan terang relasi antara sinus, cosinus, dan tangen.

Pada artikel sebelumnya sudah dibahas rumus trigonometri sudut rangkap. Jika anda sudah memahami rumus-rumus tersebut khususnya rumus cosinus sudut ganda, maka anda niscaya sanggup menurunkan rumus tersebut untuk membentuk rumus cosinus setengah sudut sebagai diberikut :

cos 2α = 2 cos² α − 1

⇒ 2cos² α = 1 + cos 2α

⇒ $\mathrm{cos²\; \alpha \; =}\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; 2\alpha }}{2}$

⇒ $\mathrm{cos\; \alpha \; = \pm }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; 2\alpha }}{2}$

melaluiataubersamaini mengganti α menjadi ½α, maka diperoleh :

$\mathrm{cos\; ½\alpha \; = \pm }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; \alpha }}{2}$

Keterangan :
Tanda negatif atau positif diubahsuaikan dengan kuadran sudut sebagai diberikut :
⇒ Kuadran I : cosinus positif.
⇒ Kuadran II : cosinus negatif.
⇒ Kuadran III : cosinus negatif.
⇒ Kuadran IV : cosinus positif.

Soal dan Pembahasan

1. Jika β yaitu sudut lancip, nyatakan perbandingan trigonometri :
   1. cos β dalam sudut 2β
   2. cos ½β

   
   Pembahasan :
   

   1. cos β dalam sudut 2β
      Karena sudut β lancip, berarti sudut β berada di kuadran I dengan begitu cosinus bernilai positif.
      
      $\mathrm{cos\; \beta \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; 2<span\; style="font-size:\; small;">\beta </span>}}{2}$
      
      
   2. cos ½β
      Karena sudut β berada di kuadran I, maka sudut ½β juga berada di kuadran I. melaluiataubersamaini begitu cosinus untuk sudut ½β juga bernilai positif.
      
      $\mathrm{cos\; ½\beta \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">\beta </span>}}{2}$
   
   
   
   
2. Jika α sudut tumpul, maka nyatakan perbandingan trigonometri :
   1. cos α dalam sudut 2α
   2. cos ½α

   
   Pembahasan :
   

   1. cos α dalam sudut 2α
      Karena sudut α tumpul, berarti sudut α berada di kuadran II dengan begitu cosinus bernilai negatif.
      
      $\mathrm{cos\; \alpha \; =\; - }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; 2\alpha }}{2}$
      
      
   2. cos ½α
      Karena sudut α berada di kuadran II, berarti sudut ½α berada di kuadran I. melaluiataubersamaini begitu cosinus untuk sudut ½α bernilai positif. $\mathrm{ }$
      
      $\mathrm{cos\; ½\alpha \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; \alpha }}{2}$

   
   
   
   
3. melaluiataubersamaini memakai rumus cos ½α, hitunglah nilai dari :
   1. cos ^π⁄₁₂
   2. cos 112 ½

   
   Pembahasan :
   

   1. cos ^π⁄₁₂ = cos ½(^π⁄₆)
      
      ⇒ $\mathrm{cos \; ^\pi⁄₁₂\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">^\pi⁄₆</span>}}{2}$
      
      ⇒ $\mathrm{cos \; ^\pi⁄₁₂\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; ½<span\; style="font-size:\; small;">\surd 3</span>}}{2}$
      
      ⇒ $\mathrm{cos \; ^\pi⁄₁₂\; =\; ½}\mathrm{\surd }\mathrm{(2\; + \; <span\; style="font-size:\; small;">\surd 3</span>)}$
      
      ⇒ cos ^π⁄₁₂ = ½ √(2 + √3)
      
      
      
   2. cos 112 ¹⁄₂ = cos ½(225^o)
      
      
      ⇒ $\mathrm{cos\; 112\; ¹⁄₂\; =\; -}\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">225^o</span>}}{2}$
      
      ⇒ $\mathrm{cos\; 112\; ¹⁄₂\; =\; -}\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; (-½<span\; style="font-size:\; small;">\surd 2</span>)}}{2}$
      
      ⇒ $\mathrm{cos\; 112\; ¹⁄₂\; =\; -½}\mathrm{\surd }\mathrm{(2\; - \; <span\; style="font-size:\; small;">\surd 2</span>)}$
      
      ⇒ cos 112 ¹⁄₂ = -½ √(2 − √2)

   
   
   
   
4. Nyatakan perbandingan trigonometri cos ¾α dalam sudut 1½α.
   
   Pembahasan :
   cos ¾α = cos ½(³⁄₂α)
   
   ⇒ $\mathrm{cos\; ¾\alpha \; = }$$\mathrm{\pm }$$\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; x-small;">³⁄₂</span>\alpha }}{2}$
   
   ⇒ $\mathrm{cos\; ¾\alpha \; = }$$\mathrm{\pm }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">1</span>½\alpha }}{2}$
   
   
   
   
5. melaluiataubersamaini konsep cosinus etengah sudut, tentukan nilai trigonometri diberikut :
   
   1. cos 45^o
   2. cos 30^o

   Rumus untuk cos ½α

   

   
   Pembahasan :
   Sudut 45^o dan 30^o berada di kuadran I jadi nilai cosinusnya positif.
   

   1. cos 45^o = cos ½(90^o)
      
      ⇒ $\mathrm{cos\; 45^o\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; 90^{\; o}}}{2}$
      
      ⇒ $\mathrm{cos\; 45^o\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; 0}}{2}$
      
      ⇒ cos 45^o = ¹⁄_√2
      ⇒ cos 45^o = ½√2.
      
      
   2. cos 30^o = cos ½(60^o)
      ⇒ $\mathrm{cos\; 30^o\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; 60^o}}{2}$
      
      ⇒ $\mathrm{cos\; 30^o\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; ½}}{2}$
      
      ⇒ cos 30^o = ^√3⁄₂
      ⇒ cos 30^o = ½√3.