Soal Dan Pembahasan Trigonometri Sinus Setengah Sudut

Pada peluang sebelumnya kami sudah mengulas rumus trigonometri untuk sudut rangkap atau sudut ganda (sin 2α, cos 2α, dan tan 2α). Selanjutnya kita akan mencoba mengulas soal-soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri untuk setengah sudut (sin ½α, cos ½α, dan tan ½α). Pada peluang ini kita akan terlebih lampau mengulas soal wacana sinus setengah sudut.

Pada dasarnya, rumus sinus setengah sudut diturunkan dari rumus cosinus sudut ganda. Penggunaan rumus sin ½α untuk memilih nilai trigonometri suatu sudut sanggup dikaitkan dengan identitas-identitas trigonometri yang sudah anda pelajari. Hubungan antara sinus, cosinus, dan tangen akan terlihat terang dalam rumus trigonometri setengah sudut.

Jika anda sudah berguru wacana rumus trigonometri sudut ganda, maka anda sanggup menurunkan rumus tersebut untuk membentuk rumus trigonometri setengah sudut sebagai diberikut :

cos 2α = 1 − 2sin² α

⇒ 2sin² α = 1 − cos 2α

⇒ $\mathrm{sin²\; \alpha \; =}\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; 2\alpha }}{2}$

⇒ $\mathrm{sin\; \alpha \; = \pm }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; 2\alpha }}{2}$

melaluiataubersamaini mengganti α menjadi ½α, maka diperoleh :

$\mathrm{sin\; ½\alpha \; = \pm }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; \alpha }}{2}$

Keterangan :
Tanda negatif atau positif diadaptasi dengan kuadran sudut sebagai diberikut :
⇒ Kuadran I : sinus positif.
⇒ Kuadran II : sinus positif.
⇒ Kuadran III : sinus negatif.
⇒ Kuadran IV : sinus negatif.

Soal dan Pembahasan

1. Jika β adalah sudut lancip, nyatakan perbandingan trigonometri :
   1. sin β dalam sudut 2β
   2. sin ½β

   
   Pembahasan :
   

   1. sin β dalam sudut 2β
      Karena sudut β lancip, berarti sudut β berada di kuadran I dengan begitu sinus bernilai positif.
      
      $\mathrm{sin\; \beta \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; 2<span\; style="font-size:\; small;">\beta </span>}}{2}$
      
      
   2. sin ½β
      Karena sudut β berada di kuadran I, maka sudut ½β juga berada di kuadran I. melaluiataubersamaini begitu sinus untuk ½β juga bernilai positif. $\mathrm{ }$
      
      $\mathrm{sin\; ½\beta \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">\beta </span>}}{2}$
   
   
   
   
2. Jika α sudut tumpul, maka nyatakan perbandingan trigonometri :
   1. sin α dalam sudut 2α
   2. sin ½α

   
   Pembahasan :
   

   1. sin α dalam sudut 2α
      Karena sudut α tumpul, berarti sudut α berada di kuadran II dengan begitu sinus bernilai positif.
      
      $\mathrm{sin\; \alpha \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; 2\alpha }}{2}$
      
      
   2. sin ½α
      Karena sudut α berada di kuadran I, maka sudut ½α berada di kuadran I. melaluiataubersamaini begitu sinus untuk sudut ½α juga bernilai positif.
      
      $\mathrm{sin\; ½\alpha \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; \alpha }}{2}$

   
   
   
   
3. melaluiataubersamaini memakai rumus sin ½α, hitunglah nilai dari :
   1. sin ^π⁄₁₂
   2. sin 112 ½

   
   Pembahasan :
   

   1. sin ^π⁄₁₂ = sin ½(^π⁄₆)
      
      ⇒ $\mathrm{sin\; ^\pi⁄₁₂\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">^\pi⁄₆</span>}}{2}$
      
      ⇒ $\mathrm{sin\; ^\pi⁄₁₂\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; ½<span\; style="font-size:\; small;">\surd 3</span>}}{2}$
      
      ⇒ $\mathrm{sin\; ^\pi⁄₁₂\; =\; ½}\mathrm{\surd }\mathrm{(1\; - \; <span\; style="font-size:\; small;">\surd 3</span>)}$
      
      ⇒ sin ^π⁄₁₂ = ½ √(1 − √3)
      
      
      
   2. sin 112 ¹⁄₂ = sin ½(225^o)
      
      
      ⇒ $\mathrm{sin\; 112\; ¹⁄₂\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">225^o</span>}}{2}$
      
      ⇒ $\mathrm{sin\; 112\; ¹⁄₂\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; (-½<span\; style="font-size:\; small;">\surd 2</span>)}}{2}$
      
      ⇒ $\mathrm{sin\; 112\; ¹⁄₂\; =\; ½}\mathrm{\surd }\mathrm{(2\; + \; <span\; style="font-size:\; small;">\surd 2</span>)}$
      
      ⇒ sin 112 ¹⁄₂ = ½ √(2 + √2)

   
   
   
   
4. Nyatakan perbandingan trigonometri sin ¾α dalam sudut 1½α.
   
   Pembahasan :
   sin ¾α = sin ½(³⁄₂α)
   
   ⇒ $\mathrm{sin\; ¾\alpha \; = }$$\mathrm{\pm }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; cos \; <span\; style="font-size:\; x-small;">³⁄₂</span>\alpha }}{2}$
   
   ⇒ $\mathrm{sin\; ¾\alpha \; =}$$\mathrm{ \; \pm }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">1</span>½\alpha }}{2}$
   
   
   
   
5. Diketahui α dan β sudut lancip dengan sin α = cos β = ⅘. Hitunglah :
   1. sin ½α
   2. sin ½β

   
   

   Rumus untuk sin ½α

   

   
   Pembahasan :
   sin α = cos β = ⅘, maka cos α = sin β = ⅗.
   

   1. sin ½α
      
      ⇒ $\mathrm{sin\; ½\alpha \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; \alpha }}{2}$
      
      ⇒ $\mathrm{sin\; ½\alpha \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; ⅗}}{2}$
      
      ⇒ sin ½α = √(²⁄₁₀)
      ⇒ sin ½α = √(¹⁄₅)
      
      
   2. sin ½β
      ⇒ $\mathrm{sin\; ½\beta \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">\beta </span>}}{2}$
      
      ⇒ $\mathrm{sin\; ½\beta \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; -\; ⅘}}{2}$
      
      ⇒ sin ½β = √(¹⁄₁₀)