Soal Dan Balasan Trigonometri Tangen Sudut Ganda

Sesudah mengulas wacana trigonometri sudut ganda untuk sinus 2α dan cosinus 2α, kini kita akan mengulas wacana rumus tan 2α. Sama menyerupai sinus dan cosinus, rumus tan 2α juga diturunkan dari rumus tangen untuk jumlah dua sudut, tan (α + β). Kita sanggup memakai rumus tangen sudut rangkap untuk menghitung nilai tangen suatu sudut yang nilainya dua kali sudut istimewa.

Kita juga sanggup memanfaatkan rumus tan 2α untuk menyatakan suatu bentuk trigonometri dalam bentuk sudut relasinya. Pada umumnya kita sanggup memakai rumus tan 2α jikalau nilai sin atau cos suatu sudut diketahui. Sesudah nilai tan α dikethaui maka nilai tan 2α sanggup ditentukan dengan gampang.

Untuk mendapat rumus tan 2α, maka ingat kembali rumus tan (α + β). melaluiataubersamaini menyamakan β = α, maka rumus jumlah tersebut akan menjadi rumus tan 2α. Berdasarkan rumus tangen jumlah dua sudut, maka diperoleh :

$\mathrm{tan\; 2\alpha \; = }\frac{\mathrm{tan\; \alpha \; +\; tan\; \alpha }}{\mathrm{1 -\; tan\; \alpha \; tan\; \alpha }}$
⇒ $\mathrm{tan\; 2\alpha \; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; \alpha }}{\mathrm{1 -\; tan²\; \alpha }}$

Soal dan Pembahasan Trigonometri

1. melaluiataubersamaini memakai rumus tan 2α, nyatakan :
   1. tan α dalam bentuk ½α
   2. tan 3α dalam bentuk ³⁄₂α

   
   Pembahasan :
   

   1. tan α = tan 2(½α)
      ⇒ $\mathrm{tan\; \alpha \; = }\frac{\mathrm{tan\; ½\alpha \; +\; tan\; ½\alpha }}{\mathrm{1 -\; tan\; ½\alpha \; tan\; ½\alpha }}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; \alpha \; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; ½\alpha }}{\mathrm{1 -\; tan²\; ½\alpha }}$
      
      
   2. tan 3α = tan 2 (³⁄₂α)
      ⇒ $\mathrm{tan\; 3\alpha \; = }\frac{\mathrm{tan\; ³⁄₂\alpha \; +\; tan\; ³⁄₂\alpha }}{\mathrm{1 -\; tan\; ³⁄₂\alpha \; tan\; ³⁄₂\alpha }}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 3\alpha \; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; ³⁄₂\alpha }}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; <span\; style="font-size:\; x-small;">3</span>}<span\; style="font-size:\; x-small;">⁄₂</span>\alpha }}$

   
   
   
   
2. Jika diketahui α dan β sudut lancip dengan sin α = cos  β = ⅘, maka tentukanlah nilai :
   1. tan 2α
   2. tan 2β

   
   Pembahasan :
   Karena sin α = cos  β = ⅘, maka :
   ⇒ tan α = ⁴⁄₃
   ⇒ tan β = ³⁄₄
   
   

   1. tan 2α = tan (α + α)
      ⇒ $\mathrm{tan\; 2\alpha \; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; \alpha }}{\mathrm{1 -\; tan²\alpha }}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 2\alpha \; =}\frac{\mathrm{2\; (⁴⁄₃)}}{\mathrm{1 -\; (⁴⁄₃)²}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 2\alpha \; = }\frac{\mathrm{⁸⁄₃}}{\mathrm{1 - \; ¹⁶⁄₉}}$
      ⇒ tan 2α = -²⁴⁄₇
      
      
   2. tan 2β = tan (β + β)
      ⇒ $\mathrm{tan\; 2\beta \; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; \beta }}{\mathrm{1 -\; tan²\beta }}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 2\beta \; =}\frac{\mathrm{2\; (³⁄₄)}}{\mathrm{1 -\; (³⁄₄)²}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 2\beta \; = }\frac{\mathrm{³⁄₂}}{\mathrm{1 - \; ⁹⁄₁₆}}$
      ⇒ tan 2β = ²⁴⁄₇

   
   
   
   
3. melaluiataubersamaini konsep tan 2α, buktikan bahwa :
   1. tan 60^o = √3
   2. tan 120^o = -√3

   
   Pembahasan :
   

   1. tan 60^o = √3
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; 30^o}}{\mathrm{1 -\; tan²30^o}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; =}\frac{\mathrm{2\; (⅓\surd 3)}}{\mathrm{1 -\; (⅓\surd 3)²}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; = }\frac{\mathrm{⅔\surd 3}}{\mathrm{1 - \; ⅓}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; = }\frac{\mathrm{⅔\surd 3}}{⅔}$
      ⇒ tan 60^o = √3
      (Terbukti).
      
      
   2. tan 120^o = -√3
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; =}\frac{\mathrm{2\; tan\; 60^o}}{\mathrm{1 -\; tan²60^o}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; =}\frac{\mathrm{2\; (\surd 3)}}{\mathrm{1 -\; (\surd 3)²}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; = }\frac{\mathrm{2\surd 3}}{\mathrm{1 -\; 3}}$
      ⇒ $\mathrm{tan\; 60^o\; = }\frac{\mathrm{2\surd 3}}{\mathrm{-2}}$
      ⇒ tan 60^o = -√3
      (Terbukti).

   
   
   
   
4. Tanpa memakai tabel triogonometri atau kalkulator, hitunglah nilai :
   1. $\frac{\mathrm{2\; tan \; ^\pi⁄₈}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₈}}$
   
   
   2. $\frac{\mathrm{4\; tan \; ^\pi⁄₁₂}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₁₂}}$
      
   
   

   Pembahasan :
   

   Rumus untuk tan 2α

   

   
   

   1. $\frac{\mathrm{2\; tan \; ^\pi⁄₈}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₈}}\mathrm{=\; tan\; 2(^{\; \pi}⁄₈)}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{2\; tan \; ^\pi⁄₈}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₈}}\mathrm{=\; tan \; ^{\; \pi}⁄₄}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{2\; tan \; ^\pi⁄₈}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₈}}\mathrm{=\; tan\; 45^o}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{2\; tan \; ^\pi⁄₈}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₈}}\mathrm{=\; 1}$
   
   
   2. $\frac{\mathrm{4\; tan \; ^\pi⁄₁₂}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₁₂}}\mathrm{=\; 2\; tan\; 2(^{\; \pi}⁄₁₂)}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{4\; tan \; ^\pi⁄₁₂}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₁₂}}\mathrm{=\; 2\; tan \; ^{\; \pi}⁄₆}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{4\; tan \; ^\pi⁄₁₂}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₁₂}}\mathrm{=\; 2\; tan\; 30^o}$
      ⇒ $\frac{\mathrm{4\; tan \; ^\pi⁄₈}}{\mathrm{1 -\; tan²^{\; \pi}⁄₈}}\mathrm{=\; ⅔\surd 3}$