Posted by Untuk memahami konsep nilai mutlak, akan diilustrasikan dengan kisah diberikut ini: Seorang anak pramuka sedang tes baris berbaris. Dari posisi diam, si anak diminta maju 2 langkah ke depan, lalu 4 langkah ke belakang. Dilanjutkan dengan 3 langkah ke depan dan jadinya 2 langkah ke belakang. Dari kisah di atas sanggup diambil permasalahan :
a. Berapakah banyaknya langkah anak pramuka tersebut dari pertama hingga terakhir ?
b. Dimanakah posisi terakhir anak pramuka tersebut, jikalau diukur dari posisi diam? (berapa langkah ke depan atau berapa langkah ke belakang)
Untuk menjawaban permasalahan diatas, akan didiberikan gambar garis bilangan diberikut:
a. Berapakah banyaknya langkah anak pramuka tersebut dari pertama hingga terakhir ?
b. Dimanakah posisi terakhir anak pramuka tersebut, jikalau diukur dari posisi diam? (berapa langkah ke depan atau berapa langkah ke belakang)
Untuk menjawaban permasalahan diatas, akan didiberikan gambar garis bilangan diberikut:
Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x = 0 ialah posisi membisu (awal) si anak. Anak panah ke kanan menunjukkan arah langkah ke depan (bernilai positif) dan anak panah ke kiri menunjukkan arah langkah ke belakang (bernilai negatif). Sehingga permasalahan di atas sanggup dijawaban sebagai diberikut :
a. Banyaknya langkah anak pramuka tersebut dari pertama hingga terakhir ialah Bentuk penjumlahan 2 + 4 + 3 + 2 = 11 langkah. Bentuk penjumlahan ini ialah penjumlahan tampa memperhatikan arah ke depan (positif) dan ke belakang (negatif)
b. Dari gambar diatas, sanggup dilihat bahwa posisi terakhir anak pramuka tersebut, jikalau diukur dari posisi membisu ialah 1 langkah ke belakang (x = –1). Hasil ini didapat dari bentuk penjumlahan 2 + (–4) + 3 + (–1) = –1. Bentuk penjumlahan ini ialah penjumlahan dengan memperhatikan arah ke depan (positif) dan ke belakang (negatif).
Ilustrasi dari penyelesaian soal (a) di atas ialah dasar dari konsep nilai mutlak. Dimana Nilai mutlak suatu bilangan real x ialah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan. Dan dilambangkan dengan │x│. Secara formal nilai mutlak didefinisikan
Dari konsep diatas diperoleh : │–3│ = 3 , │–15│ = 15 , │6│ = 6 , │10│ = 10 dan seterusnya.
Untuk lebih memahami pertidaksamaan nilai mutlak, perhatikan teladan diberikut :
01. Tentukanlah nilai
(a) │–4│ + │5│ – │–3│ (b) 6 – │–2│ + │–5│ + 1
(c) │4 – │–7││ (d) │–9 + │–2││
Jawab
(a) │–4│ + │5│ – │–3│ = 4 + 5 – 3 = 6
(b) 6 – │–2│ + │–5│ + 1 = 6 – 2 + 5 + 1 = 10
(c) │4 – │–7││ = │4 – 7│ = │–3│ = 3
(d) │–9 + │–2││ = │–9 + 2│ =│–7│ = 7
02. Untuk x = –3, maka tentukanlah nilai │x2 + 6x + 5│
Jawab
│x2 + 6x + 5│ = │(–3)2 + 6(–3) + 5│
= │9 – 18 + 5│
= │–4│
= 4
03. Untuk x = 2, maka tentukanlah nilai 4│2 – 6x│+ │3x – 8│
Jawab
4│2 – 6x│+ │3x – 8│ = 4│2 – 6(2)│+ │3(2) – 8│
= 4│–10│+ │–2│
= 40 + 2
= 42
04. Untuk x = –2, maka tentukanlah nilai │x2 – 6x│– │4x + 5│
Jawab
│x2 – 6x│– │4x + 5│= │(–2)2 – 6(–2)│– │4(–2) + 5│
= │4 + 12│– │–8 + 5│
= 16 + 3
= 19
05. Sebuntut bekicot akan menaiki tiang bendera dimulai awal tanggal 5 Agustus. Jika pada tanggal ganjil bekicot itu bergerak naik setinggi 5 m, dan pada tanggal genap ia turun sejauh 3 m, maka ia akan datang dipuncak tiang bendera sempurna pada selesai tanggal 17 Agustus.
(a) Berapakah tinggi tiang bendera
(b) Berapakah jauh perjalanan bekicot itu?
Jawab
(a) Tinggi tiang bendera = 5 – 3 + 5 – 3 + 5 – 3 + 5 – 3 + 5 – 3 + 5 – 3 + 5 = 17m
(b) jauh perjalanan bekicot itu = 5 + │–3│ + 5 + │–3│+ 5 + │–3│+ 5 + │–3│+ 5 + │–3│ + 5 + │–3│+ 5 = 53 m
Untuk menuntaskan persamaan nilai mutlak, sanggup dipakai sifat
01. (a) Jika │f(x)│ = a maka f2(x) = a2
(b) Jika │f(x)│ = a maka f(x) = a atau f(x) = –a
02. (a) Jika │f(x)│ = │g(x)│ maka f2(x) = g2(x)
(b) Jika │f(x)│ = │g(x)│ maka f(x) = g(x) atau f(x) = –g(x)
Untuk lebih memahami pertidaksamaan nilai mutlak, perhatikan teladan diberikut :
01. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan diberikut :
(a) │2x – 5│ = 3 (b) │4 – 3x│ = 6
Jawab
(a) │2x – 5│ = 3
(2x – 5)2 = 32
4x2 – 20x + 25 = 9
4x2 – 20x + 16 = 0
x2 – 5x + 4 = 9
(x – 4)(x – 1) = 0
Kaprikornus x = 1 dan x = 4
(b) │3 – 2x│ = 7
(3 – 2x)2 = 72
9 – 12x + 4x2 = 49
4x2 – 12x – 40 = 0
x2 – 3x – 10 = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
Kaprikornus x = 5 atau x = –2
02. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan diberikut :
(a) │2x + 4│ = │x – 1│ (b) │3x + 4│ = │2x – 1│
Jawab
(a) │2x + 4│ = │x – 1│
(2x + 4)2 = (x – 1)2
4x2 –16x + 16 = x2 – 2x + 1
3x2 – 14x + 15 = 0
(3x – 5)(x – 3) = 0
Kaprikornus x = 5/3 atau x = 3
(b) │3x + 4│ = │2x – 1│
(3x + 4)2 = (2x – 1)2
9x2 +24x + 16 = 4x2 – 4x + 1
5x2 + 28x + 15 = 0
(5x + 3)(x + 5) = 0
Kaprikornus x = –3/5 atau x = –5
03. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan diberikut :
(a) │3x – 2│ = x + 4 (b) │2x + 4│ = x – 3
Jawab
(a) │3x – 2│ = x + 4
(3x – 2)2 = (x + 4)2
9x2 – 12x + 4 = x2 + 8x + 16
8x2 – 20x – 12 = 0
2x2 – 5x – 3 = 0
(2x + 1)(x – 3) = 0
Kaprikornus x = –1/2 atau x = 3
Uji: x = –1/2 maka x + 4 = –1/2 + 4 = 7/2 (memenuhi)
Uji: x = 3 maka x – 4 = 3 + 4 = 7 (memenuhi)
Sehingga H = {–1/2, 3}
(b) │2x – 4│ = x – 3
(2x – 4)2 = (x – 3)2
4x2 –16x + 16 = x2 – 6x + 9
3x2 – 22x + 7 = 0
(3x – 1)(x – 7) = 0
Kaprikornus x = 1/3 atau x = 7
Uji: x = 1/3 maka x – 3 = 1/3 – 4 = –11/3 (tidak memenuhi)
Uji: x = 7 maka x – 4 = 7 – 4 = 3 (memenuhi)
Sehingga H = {7}
Emoticon