Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat Implisit

.com - Sistem persamaan linear dan kuadrat implisit ialah sistem persamaan yang terdiri dari persamaan linear dan persamaan kuadrat dengan bab kuadratnya berbentuk implisit. Bagian kuadrat dari SPLK dikatakan berbentuk implisit kalau bab tersebut tidak sanggup ditetapkan dalam bentuk fungsinya. Misal bab kuadrat dengan peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit kalau persamaan tersebut tidak sanggup ditetapkan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit umumnya ditetapkan dalam bentuk f(x, y) = 0 sehingga pada sistem persamaan linear dan kuadrat implisit, bab kuadratnya biasanya bernilai sama dengan nol. Pada peluang ini, materi berguru sekolah akan mengulas beberapa bentuk dan cara memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat implisit.

Bentuk Umum SPLK Implisit

Persamaan yang mengandung dua peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit kalau persamaan tersebut tidak sanggup ditetapkan dalam bentuk x = f(y) atau y = f(x). Sistem persamaan linear dan kuadrat dengan bab kuadrat berbentuk implisit sanggup dilihat dari bentuk bab kuadratnya.

Pada SPLK implisit, bab kuadrat biasanya mengandung dua peubah yang mempunyai pangkat kuadrat. Berikut beberapa pola persamaan dua variabel yang berbentuk implisit:
1). x² + y² + 12 = 0
2). x² + y² + 4x - 24 = 0
3). 2x² - y² + 4xy + 3x - 2y - 6 = 0

Pada artikel sebelumnya sudah dibahas bahwa SPL sanggup dibedakan menjadi SPLK dengan bab kuadrat eksplisit dan SPLK dengan bab kuadrat implisit. Pada gambar di bawah ini ditunjukkan perbedaan antara bentuk eksplisit dan bentuk implisit.

Secara umum, sistem persamaan linear dan kuadrat dengan bab kuadrat berbentuk implisit dalam peubah x dan y sanggup ditulis sebagai diberikut:

Bagian linear    : px + qy + r = 0
Bagian kuadrat : ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0

Pada bentuk di atas, x dan y ialah variabel sedangkan a, b, c, d, e, f, p, q, dan r ialah bilangan-bilangan real. Berdasarkan bentuk bab kuadratnya, SPLK implisit sanggup dibedakan menjadi dua jenis, yaitu:
1. SPLK implisit, dengan bab kuadrat sanggup difaktorkan
2. SPLK implisit, dengan bab kuadrat tidak sanggup difaktorkan.

Penyelesaian SPLK, Bagian Kuadrat Dapat Difaktorkan

Secara umum, SPLK implisit sanggup diselesaikan dengan cara mensubstitusi bab linear ke bab kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat. Sesudah itu ditentukan akar-akar persamaan kuadratnya dan ditentukan nilai variabel lainnya.

Akan tetapi, alasannya ialah bab kuadratnya sanggup difaktorkan, kita sanggup menyelesaikannya dengan cara memfaktorkan bab kuadratnya terlebih lampau sehingga dihasilkan dua persamaan linear. Persamaan linear tersebut digabung dengan persamaan linear yang diketahui membentuk dua SPLDV.

Sesudah diperoleh dua SPLDV, selanjutnya kita tentukan penyelesaian untuk masing-masing SPLDV menurut prinsiip penyelesaian SPLD baik dengan metode eliminasi atau metode substitusi. Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola diberikut.

misal Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian untuk SPLK diberikut ini:
x + y = 4
x² - 2xy + y² - 4 = 0

Pembahasan :
Langkah pertama, faktorkan bab kuadratnya:
⇒ x² - 2xy + y² - 4 = 0
⇒ (x - y)² - 4 = 0
⇒ (x - y - 2)(x - y + 2) = 0

Dari proses di atas, kita peroleh dua persamaan linear sebagai diberikut:
1). x - y - 2 = 0
2). x - y + 2 = 0

Selanjutnya, gabungkan kedua masing-masing persamaan di atas dengan persamaan linear x + y = 4 sehingga diperoleh dua sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

SPLDV pertama:
x + y = 4 
x - y - 2 = 0

SPLDV kedua:
x + y = 4 
x - y + 2 = 0

Selanjutnya kita tentukan penyelesaian untuk masing-masing SPLDV dengan memakai metode eliminasi atau metode substitusi. Kali ini, kita akan coba metode substitusi.

Penyelesaian SPLDV pertama:
⇒ x + y = 4
⇒ x = 4 - y

Substitusi ke persamaan x - y - 2 = 0
⇒ x - y - 2 = 0
⇒ (4 - y) - y - 2 = 0
⇒ 4 - 2y - 2 = 0
⇒ -2y = -2
⇒ y = 1

Substitusi y = 1 ke persamaan x + y = 4
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 - 1
⇒ x = 3

HP = {(3, 1)}.

Penyelesaian SPLDV kedua:
⇒ x + y = 4
⇒ x = 4 - y

Substitusi ke persamaan x - y + 2 = 0
⇒ x - y + 2 = 0
⇒ (4 - y) - y + 2 = 0
⇒ 4 - 2y + 2 = 0
⇒ -2y = -6
⇒ y = 3

Substitusi y = 3 ke persamaan x + y = 4
⇒ x + 3 = 4
⇒ x = 4 - 3
⇒ x = 1

HP = {(1, 3)}.

Jadi, himpunan penyelesaian untuk SPLK tersebut ialah {(3, 1), (1, 3)}.

Penyelesaian SPLK, Bagian Kuadrat Tidak Dapat Difaktorkan

Untuk SPLK implisi yang bab kuadratnya tidak sanggup difaktorkan, maka kita sanggup menyelesaikannya dengan cara mensubstitusikan bab linear ke bab kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat satu variabel.

Sesudah akar dari persamaan linear yang terbentuk diperoleh, selanjutnya kita tentukan nilai variabel lainnya dengan cara mensubstitusikan nilai variabel yang sudah diketahui (nilai itu diperoleh dari akar persamaan kuadrat).

misal soal :
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK diberikut:
x + y = 0
x² + y² - 8 = 0

Pembahasan :
Langkah pertama, nyatakan bab linear dalam bentuk x atau y sebagia diberikut:
⇒ x + y = 0
⇒ y = -x

Langkah kedua, substitusikan y ke dalam bab kuadrat:
⇒ x² + y² - 8 = 0
⇒ x² + (-x)² - 8 = 0
⇒ x² + x² - 8 = 0
⇒ 2x² - 8 = 0
⇒ x² - 4 = 0

Selanjutnya, tentukan akar-akarnya:
⇒ x² - 4 = 0
⇒ x² = 4
⇒ x = 2 atau x = -2

Selanjutnya, substitusi nilai x ke persamaan x + y = 0.

Untuk x = 2
⇒ x + y 0
⇒ 2 + y = 0
⇒ y = -2
HP = {(2, -2)}

Untuk x = -2
⇒ x + y = 0
⇒ -2 + y = 0
⇒ y = 2
HP = {(-2, 2)}.

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut ialah {(-2, 2), (2, -2)}.

SUBTOPIK

• Menyelesaikan Soal Cerita dan Menyusun Model Matematika SPLK
• Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit
• Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLK Bentuk Eksplisit
• Pembahasan Soal Ujian Nasional Tentang Persamaan Linear