Pembahasan Soal Un Lingkaran

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) tingkat Sekolah Menengan Atas bidang studi Matematika IPA untuk pokok bahasan Lingkaran yang mencakup persamaan bundar dan persamaan garis singgung lingkaran.

Persamaan Lingkaran

Pusat (0, 0) dan jari-jari r :
x² + y² = r²

Pusat (a, b) dan jari-jari r :
(x − a)² + (y − b)² = r²

Bentuk umum persamaan bundar :
x² + y² + Ax + By + C = 0

(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)
r² = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\)  − C

Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Titik (x₁, y₁)

Pusat (0, 0) dan jari-jari r :
x₁ x + y₁ y = r²

Pusat (a, b) dan jari-jari r :
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²

Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m

Pusat (0, 0) dan jari-jari r :
y = mx ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)

Pusat (a, b) dan jari-jari r :
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)

Gradien Garis

y = ax + b → m = a
ax + by + c = 0 → m = \(\mathrm{-\frac{a}{b}}\)

Garis p sejajar garis q :
m_p = m_q

Garis p tegak lurus garis q :
m_p . m_q = −1

Gradien garis yang membentuk sudut θ terhadap sumbu-x faktual :
m = tan θ

Jarak titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂)

d = \(\mathrm{\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\)

Jarak titik (x₁, y₁) ke garis ax + by + c = 0

d = \(\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\)



UN 2016
Salah satu persamaan garis singgung bundar x² + y² − 2x + 6y − 10 = 0 yang sejajar dengan garis 2x − y + 4 = 0 ialah ...
A.  2x − y = 14
B.  2x − y = 10
C.  2x − y = 5
D.  2x − y = −5
E.  2x − y = −6

Pembahasan :
Misalkan :
m = gradien garis singgung
m_g = gradien garis 2x − y + 4 = 0

2x − y + 4 = 0 → m_g = 2

Karena garis singgung sejajar garis g, maka
m = m_g = 2
m = 2

x² + y² − 2x + 6y − 10 = 0
A = −2 ; B = 6 ; C = −10

(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{(-2)}{2},-\frac{6}{2} \right )}\)
(a, b) = (1, −3)

r² = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\)  − C
r² = \(\mathrm{\frac{(-2)^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{6^{2}}{4}}\)  − (−10)
r² = 20
r = \(\sqrt{20}\)

Persamaan garis singgung bundar :
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y + 3 = 2(x − 1) ± \(\sqrt{20}\)\(\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\)
y + 3 = 2x − 2 ± 10
y = 2x − 5 ± 10

y = 2x − 5 + 10 → 2x − y = −5
y = 2x − 5 − 10 → 2x − y = 15

Jawaban : D


UN 2015
Salah satu persamaan garis singgung bundar x² + y² + 2x − 6y − 10 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y + 1 = 0 ialah ...
A.  y = 2x − 14
B.  y = 2x − 11
C.  y = 2x + 5
D.  y = 2x + 9
E.  y = 2x + 15

Pembahasan :
Misalkan :
m = gradien garis singgung
m_g = gradien garis x + 2y + 1 = 0

x + 2y + 1 = 0 → m_g = \(-\frac{1}{2}\)

Karena garis singgung tegak lurus garis g, maka
m . m_g = −1
m . \(-\frac{1}{2}\) = −1
m = 2

x² + y² + 2x − 6y − 10 = 0
A = 2 ; B = −6 ; C = −10

(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{2}{2},-\frac{(-6)}{2} \right )}\)
(a, b) = (−1, 3)

r² = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\)  − C
r² = \(\mathrm{\frac{2^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{(-6)^{2}}{4}}\)  − (−10)
r² = 20
r = \(\sqrt{20}\)

Persamaan garis singgung bundar :
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y − 3 = 2(x + 1) ± \(\sqrt{20}\)\(\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\)
y − 3 = 2x + 2 ± 10
y = 2x + 5 ± 10

y = 2x + 5 + 10 → y = 2x + 15
y = 2x + 5 − 10 → y = 2x − 5

Jawaban : E


UN 2015
Persamaan bundar yang berpusat di titik (−1, 2) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 ialah ...
A.  x² + y² + 2x + 4y − 27 = 0
B.  x² + y² + 2x − 4y − 27 = 0
C.  x² + y² + 2x − 4y − 32 = 0
D.  x² + y² − 4x − 2y − 32 = 0
E.  x² + y² − 4x + 2y − 7 = 0

Pembahasan :
Jarak titik (x₁, x₂) ke garis \(\mathrm{ax+by+c=0}\) adalah
d = \(\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\)

Jari-jari ialah jarak dari titik sentra (−1, 2) ke garis \(\mathrm{x+y+7=0}\).
r = \(\mathrm{\left | \frac{1(-1)+1(2)+7}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} \right |}\) = 4√2

Jadi, persamaan bundar :
(x + 1)² + (y − 2)² = (4√2)²
x² + 2x + 1 + y² − 4y + 4 = 32
x² + y² + 2x − 4y − 27 = 0

Jawaban : B


UN 2013
Sebuah bundar mempunyai titik sentra (2, 3) dan berdiameter 8 cm. Persamaan bundar tersebut ialah ...
A.  x² + y² − 4x − 6y − 3 = 0
B.  x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0
C.  x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0
D.  x² + y² + 4x + 6y + 3 = 0
A.  x² + y² + 4x − 6y + 3 = 0

Pembahasan :
d = 8 → r = 4

Persamaan bundar dengan sentra (2, 3) dan jari-jari 4 adalah
(x − 2)² + (y − 3)² = 4²
x² − 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16
x² + y² − 4x − 6y − 3 = 0

Jawaban : A


UN 2012
Lingkaran L ≡ (x + 1)² + (y − 3)²  = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung bundar yang melalui titik potong antara bundar dan garis tersebut ialah ...
A.  x = 2 dan x = −4
B.  x = 2 dan x = −2
C.  x = −2 dan x = 4
D.  x = −2 dan x = −4
E.  x = 8 dan x = −10

Pembahasan :
(x + 1)² + (y − 3)²  = 9
(a, b) = (−1, 3)
r² = 9

Titik potong bundar dengan garis y = 3 adalah
(x + 1)² + (3 − 3)²  = 9
(x + 1)² = 9
x + 1 = ±3
x + 1 = 3 atau x + 1 = −3
x = 2 atau x = −4

diperoleh titik potong (−4, 3) dan (2, 3)

PGS di titik (2, 3)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
(2 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(x − 3)  = 9
3(x + 1) = 9
x + 1 = 3
x = 2

PGS di titik (−4, 3)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
(−4 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(x − 3)  = 9
−3(x + 1) = 9
x + 1 = −3
x = −4

Jawaban : A


UN 2008
Persamaan garis singgung melalui titik A(−2, −1) pada bundar x² + y² + 12x − 6y + 13 = 0 ialah ...
A.  −2x − y − 5 = 0
B.  x − y + 1 = 0
C.  x + 2y + 4 = 0
D.  3x − 2y + 4 = 0
E.  2x − y + 3 = 0

Pembahasan :
Persamaan bundar :
x² + y² + 12x − 6y + 13 = 0
A = 12 ; B = −6 ; C = 13

(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{12}{2},-\frac{(-6)}{2} \right )}\)
(a, b) = (−6, 3)

r² = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\)  − C
r² = \(\mathrm{\frac{12^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{(-6)^{2}}{4}}\)  − 13
r² = 32

Melalui titik (x₁, y₁) = (−2, −1)

Persamaan garis singgung :
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
(−2 + 6)(x + 6) + (−1 − 3)(y − 3) = 32
4x + 24 − 4y + 12 = 32
4x − 4y + 4 = 0
x − y + 1 = 0

Jawaban : B


UN 2007
Salah satu persamaan garis singgung bundar (x − 2)² + (y + 1)²  = 13 di titik yang berabsis −1 ialah ...
A.  3x − 2y − 3 = 0
B.  3x − 2y − 5 = 0
C.  3x + 2y − 9 = 0
D.  3x + 2y + 9 = 0
E.  3x + 2y + 5 = 0

Pembahasan :
(x − 2)² + (y + 1)²  = 13
(a, b) = (2, −1)
 r²= 13

Untuk absis −1, maka :
(−1 − 2)² + (y + 1)²  = 13
9 + (y + 1)²  = 13
(y + 1)²  = 4
y + 1 = ±2
y + 1 = 2 atau y + 1 = −2
y = 1 atau y = −3

diperoleh titik singgung :
(−1, 1) dan (−1, −3)

Persamaan garis singgung di titik (−1, 1) :
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
(−1 − 2)(x − 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13
−3x + 6 + 2y + 2 = 13
−3x + 2y − 5 = 0
3x − 2y + 5 = 0

Persamaan garis singgung di titik (−1, −3) :
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
(−1 − 2)(x − 2) + (−3 + 1)(y + 1) = 13
−3x + 6 − 2y − 2 = 13
−3x − 2y − 9 = 0
3x + 2y + 9 = 0

Jawaban : D


UN 2006
Persamaan bundar yang pusatnya terletak pada garis 2x − 4y − 4 = 0, serta menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y negatif ialah ...
A.  x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0
B.  x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0
C.  x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0
D.  x² + y² − 4x − 4y + 4 = 0
E.  x² + y² − 2x − 2y + 4 = 0

Pembahasan :
Misalkan sentra bundar ialah (a, b).
(a, b) terletak pada garis 2x − 4y − 4 = 0, akibatnya
2a − 4b − 4 = 0   ..................(1)
Lingkaran menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif, akibatnya
a = b dengan a, b < 0.

Karena a = b maka persamaan (1) menjadi
2a − 4a − 4 = 0
-2a = 4
a = -2

Diperoleh sentra bundar :
(a, b) = (−2, −2)

dengan jari-jari :
r = |a| = |b| = 2

Persamaan bundar :
(x + 2)² + (y + 2)²  = 2²
x² + 4x + 4 + y² + 4y + 4 = 4
x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0

Jawaban : A


UN 2003
Salah satu garis singgung yang bersudut 120° terhadap sumbu-x faktual pada bundar dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, −2) ialah ...
A.  y = −x√ 3 + 4√ 3 + 12
B.  y = −x√ 3 − 4√ 3 + 8
C.  y = −x√ 3 + 4√ 3 − 4
D.  y = −x√ 3 − 4√ 3 − 8
E.  y = −x√ 3 + 4√ 3 + 22

Pembahasan :
Diameter bundar ialah jarak dari titik (7, 6) ke titik (1, −2), yaitu :
d = \(\sqrt{(7-1)^{2}+(6-(-2))^{2}}\) = 10
r = \(\frac{1}{2}\)d = 5
r = 5

Pusat bundar ialah titik tengah diameter, yaitu :
(a, b) = \(\left ( \frac{7+1}{2},\,\frac{6+(-2)}{2} \right )\) = (4, 2)
(a, b) = (4, 2)

Garis singgung membentuk sudut 120° terhadap sumbu-x positif, sehingga :
m = tan 120°
m = −√3

Persamaan garis singgung bundar :
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y − 2 = −√3(x − 4) ± 5\(\mathrm{\sqrt{1+(-\sqrt{3})^{2}}}\)
y − 2 = −√3x + 4√3 ± 10
y = −√3x + 4√3 ± 12

y = −√3x + 4√3 + 12
y = −√3x + 4√3 − 12

Jawaban : A