Pembahasan Soal Sbmptn Barisan Dan Deret Aritmatika

1. Diketahui u₁, u₂, u₃, .... ialah barisan aritmatika dengan suku-suku positif. Jika u₁ + u₂ + u₃ = 24 dan u₁² = u₃ - 10, maka nilai u₄ sama dengan ....

   A. 16

   B. 20

   C. 24

   D. 30

   E. 32

   
   Pembahasan :
   Dari soal diperoleh :
   ⇒ u₁ + u₂ + u₃ = 24
   ⇒ a + (a + b) + (a + 2b) = 24
   ⇒ 3a + 3b = 24
   ⇒ a + b = 8
   ⇒ a = 8 - b
   
   
   Substitusi nilai a ke persamaan diberikutnya :
   ⇒ u₁² = u₃ - 10
   ⇒ a² = (a + 2b) - 10
   ⇒ (8 - b)² = (a + 2b) - 10
   ⇒ 64 - 16b + b² = 8 - b + 2b - 10
   ⇒ 64 - 16b + b² = 8 - b + 2b - 10
   ⇒ b² - 16 b + 64 = b - 2
   ⇒ b² - 17 b + 66 = 0
   ⇒ (b - 11)(b - 6) = 0
   ⇒ b = 11 atau b = 6
   
   Karena beda barisan ada dua pilihan, maka harus kita lihat nilai mana yang memenuhi syarat sehingga kita peroleh nilai suku awal sebagai diberikut :
   Untuk b = 11
   ⇒ a = 8 - b
   ⇒ a = 8 - 11
   ⇒ a = -3
   Karena suku-suku barisannya positif, maka nilai b = 11 tidak memenuhi alasannya ialah suku awalnya bernilai negatif yaitu -3.
   
   Untuk b = 6
   ⇒ a = 8 - b
   ⇒ a = 8 -6
   ⇒ a = 2
   melaluiataubersamaini begitu, suku awalnya u₁ = a = 2.
   
   Karena suku awal dan beda sudah diperoleh, maka suku ke-4 sanggup ditentukan.
   ⇒ u₄ = a + 3b
   ⇒ u₄ = 2 + 3(6)
   ⇒ u₄ = 2 + 18
   ⇒ u₄ = 20
   

   Jawaban : B
   
   

   

   
   
2. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulannya dengan jumlah yang sama besar. Bila laba hingga bulan keempat 30 ribu rupiah, dan laba hingga bulan kedelapan 172 ribu rupiah, maka laba pedagang tersebut hingga bulan ke-18 ialah ....

   1017 ribu rupiah 1050 ribu rupiah 1100 ribu rupiah 1120 ribu rupiah 1137 ribu rupiah

   
   Pembahasan :
   Karena laba bertambah dengan jumlah yang sama, maka soal di atas termasuk barisan aritmatika dengan pertambahan laba sebagai beda-nya (b) dan laba di bulan pertama sebagai suku awalnya (a). Keuntungan pada bulan ke-n ialah jumlah suku ke-n (S_n) dari barisan tersebut.
   
   Bulan ke-4 :
   ⇒ S₄ = 30.000
   ⇒ ⁿ⁄₂ {2a + (n - 1)b} = 30.000
   ⇒ ⁴⁄₂ {2a + (4 - 1)b} = 30.000
   ⇒ 2 (2a + 3b) = 30.000
   ⇒ 2a + 3b = 15.000
   ⇒ 2a = 15.000 - 3b ....(1)
   
   Bulan ke-8 :
   ⇒ S₈ = 172.000
   ⇒ ⁿ⁄₂ {2a + (n - 1)b} = 172.000
   ⇒ ⁸⁄₂ {2a + (8 - 1)b} = 172.000
   ⇒ 4 (2a + 7b) = 172.000
   ⇒ 2a + 7b = 43.000 .....(2)
   
   Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
   ⇒ 2a + 7b = 43.000
   ⇒ 15.000 - 3b + 7b = 43.000
   ⇒ 15.000 + 4b = 43.000
   ⇒ 4b = 28.000
   ⇒ b = 7.000
   
   melaluiataubersamaini demikian diperoleh suku awal :
   ⇒ 2a + 7b = 43.000
   ⇒ 2a + 7(7.000) = 43.000
   ⇒ 2a + 49.000 = 43.000
   ⇒ 2a = -6.000
   ⇒ a = -3000
   
   Keuntungan pedagang hingga bulan ke-18 ialah :
   ⇒ S₁₈ =  ⁿ⁄₂ {2a + (n - 1)b}
   ⇒ S₁₈ = ¹⁸⁄₂ {2a + (18 - 1)b}
   ⇒ S₁₈ = 9 (2a + 17b)
   ⇒ S₁₈ = 9 {2(-3000) + 17(7000)}
   ⇒ S₁₈ = 9 (-6000 + 119.000)
   ⇒ S₁₈ = 9 (113.000)
   ⇒ S₁₈ = 1.017.000
   Jadi, manfaatnya ialah 1.017 ribu.
   

   Jawaban : A
   
   
3. Dari barisan empat buah bilangan, jumlah tiga bilangan pertama sama dengan nol dan kuadrat bilangan pertama sama dengan -⅔ kali bilangan ketiga. Jika setiap dua bilangan yang berdekatan sama selisihnya, maka bilangan keempat ialah ....

   A. -4⁄3	D. 4⁄9
   B. -2⁄3	E. 4⁄3
   C. -4⁄9

   
   Pembahasan :
   Misalkan keempat bilangan tersebut ialah u₁, u₂, u₃, dan u₄. Karena selisih dua bilangan yang berdekatan sama, berarti keempat bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.
   
   Jumlah tiga bilangan pertama :
   ⇒ u₁ + u₂ + u₃ = 0
   ⇒ a + (a + b) + (a + 2b) = 0
   ⇒ 3a + 3b = 0
   ⇒ 3a = -3b
   ⇒ a = -b
   
   Hubungan bilangan pertama dan ketiga :
   ⇒ u₁² = ^-2⁄₃ u₃
   ⇒ a² =  ^-2⁄₃ (a + 2b)
   ⇒ (-b)² =  ^-2⁄₃ (-b + 2b)
   ⇒ b² =  ^-2⁄₃ b
   ⇒ b = ^-2⁄₃ 
   
   Selanjutnya, diperoleh bilangan pertamanya :
   ⇒ a = -b
   ⇒ a = ²⁄₃  
   
   melaluiataubersamaini demikian, bilangan keempat ialah :
   ⇒ u₄ = a + 3b
   ⇒ u₄ = ²⁄₃ + 3(^-2⁄₃)
   ⇒ u₄ = ²⁄₃ - ⁶⁄₃
   ⇒ u₄ = ^-4⁄₃
   Jawaban : A