Pembahasan Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Model soal yang umum dalam persamaan kuadrat antara lain memilih akar-akar suatu persamaan kuadrat, memilih sifat akar, menyusun persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya mempunyai kekerabatan dengan akar suatu persamaan kuadrat tertentu yang diketahui nilainya, melihat kekerabatan variabel dan akar-akarnya, dan sebagainya. Konsep yang harus kita pahami untuk menjawaban soal-soal menyerupai itu antara lain bentuk umum persamaan kuadrat, kekerabatan nilai deskriminan dengan sifat-sifat akar, penyelesaian persamaan kuadrat, konsep jumlah dan hasil kali akar, dan cara menyusun persamaan kuadrat baru.

Pada peluang ini kita akan mengulas beberapa pola soal ihwal persamaan kuadrat yang akan dibahas secara bertahap. Anda mungkin menemukan artikel dengan judul yang hampir sama namun itu spesialuntuk menunjukkan bahwa artikel tersebut ialah kelanjutan atau pembahasan yang lebih dulu dari artikel ini.

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

1. Akar-akar persamaan kuadrat x² + 2x + 4 = 0 ialah m dan n. Persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya (m + 2) dan (n + 2) ialah ....

   A. x2 − 2x + 4 = 0	D. x2 + 4x + 2 = 0
   B. x2 + 2x + 4 = 0	E. x2 − 2x + 2 = 0
   C. x2 − 4x + 2 = 0

   
   Pembahasan :
   Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, kita tidak harus mencari nilai m dan n alasannya ialah dengan memakai konsep jumlah dan hasil kali akar kita sanggup mengerjakannya. Oleh alasannya ialah itu, jikalau bertemu soal menyerupai ini, tidakboleh gelagapan saat persamaan kuadratnya susah diakarkan, yang perlu anda lakukan spesialuntuk mencari jumlah dan hasil kali akar-akarnya.
   
   Sekarang tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
   ⇒ x² + 2x + 4 = 0
   Diketahui : a = 1, b = 2, dan c = 4.
   
   Jumlah akarnya :
   

   ⇒ m + n =	-b
   	a

   ⇒ m + n =	-2
   	1

   ⇒ m + n = -2
   
   Hasil kali akarnya :
   

   ⇒ m.n =	c
   	a

   ⇒ m.n =	4
   	1

   ⇒ m.n = 4
   
   Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
   Jumlah akarnya :
   ⇒ (m + 2) + (n + 2) = (m + n) + 4
   ⇒ (m + 2) + (n + 2) = -2 + 4
   ⇒ (m + 2) + (n + 2) = 2
   
   Hasil kali akarnya :
   ⇒ (m + 2).(n + 2) = m.n + 2m + 2n + 4
   ⇒ (m + 2).(n + 2) = m.n + 2(m + n) + 4
   ⇒ (m + 2).(n + 2) = 4 + 2(-2) + 4
   ⇒ (m + 2).(n + 2) = 4
   
   Selanjutnya susun persamaan kuadrat barunya :
   ⇒ x² − {(m + 2) + (n + 2)}x + (m + 2).(n + 2) = 0
   ⇒ x² − 2x + 4 = 0 
   
   Teknik Mudah :
   Jika akar-akar persamaan kuadrat yang gres ialah (x1 + n) dan (x2 + n), maka persamaan kuadrat gres itu sanggup kita cari dengan rumus :
   

   a (x − n)² + b(x − n) + c = 0

   
   Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang usang :
   ⇒ x² + 2x + 4 = 0
   Diketahui : a = 1, b = 2, dan c = 4.
   Dari (m + 2) dan (n + 2), maka n = 2.
   
   ⇒ a (x − n)² + b(x − n) + c = 0
   ⇒ 1 (x − 2)² + 2(x − 2) + 4 = 0
   ⇒ x² − 4x + 4 + 2x − 4 + 4 = 0
   ⇒ x² − 2x + 4 = 0
   

   Jawaban : A

   
   
2. Diketahui m dan n ialah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x² − 3x + 6 = 0. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1/m dan 1/n ialah .....

   A. 6x2 + 3x + 2 = 0	D. 6x2 − 2x + 3 = 0
   B. 6x2 − 3x + 2 = 0	E. 6x2 + 2x − 3 = 0
   C. 6x2 − 3x − 2 = 0

   
   Pembahasan :
   Tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
   ⇒ 2x² − 3x + 6 = 0
   Diketahui : a = 2, b = -3, dan c = 6.
   
   Jumlah akarnya :
   

   ⇒ m + n =	-b
   	a

   ⇒ m + n =	3
   	2

   
   Hasil kali akarnya :
   

   ⇒ m.n =	c
   	a

   ⇒ m.n =	6
   	2

   ⇒ m.n = 3
   
   Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
   Jumlah akarnya :
   

   ⇒	1	+	1	=	m + n
   	m		n		m.n

   ⇒	1	+	1	=	3⁄2
   	m		n		3

   ⇒	1	+	1	=	1
   	m		n		2

   
   Hasil kali akarnya :
   

   ⇒	1	.	1	=	1
   	m		n		m.n

   ⇒	1	.	1	=	1
   	m		n		3

   
   melaluiataubersamaini demikian, persamaan kuadrat gres ialah :
   ⇒ x² − (1/m + 1/n)x + (1/m.1/n) = 0
   ⇒ x² − ½x + ⅓ = 0
   ⇒ 6x² − 3x + 2 = 0
   
   Teknik Mudah :
   Jika akar-akar persamaan kuadrat yang gres ialah 1/x1 dan 1/x2 (berkebalikan), maka persamaan kuadrat gres itu sanggup kita cari dengan rumus :
   

   cx² + bx + a = 0

   
   Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang usang :
   ⇒ 2x² − 3x + 6 = 0
   Diketahui : a = 2, b = -3, dan c = 6.
   Persaman kuadrat barunya :
   ⇒ cx² + bx + a = 0
   ⇒ 6x² + (-3)x + 2 = 0
   ⇒ 6x² − 3x + 2 = 0
   

   Jawaban : B
   
   
3. Jika x1 dan x2 ialah aka-akar persamaan kuadrat  2x² + x − 4 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya (x1 - 4) dan (x2 - 4) ialah .....

   A. 2x2 + 32x − 17 = 0	D. 2x2 + 17x + 32 = 0
   B. 2x2 + 32x + 17 = 0	E. 2x2 + 17x − 32 = 0
   C. 2x2 − 17x − 32 = 0

   
   Pembahasan :
   Tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
   ⇒ 2x² + x − 4 = 0
   Diketahui : a = 2, b = 1, dan c = -4.
   
   Jumlah akarnya :
   

   ⇒ x1 + x2 =	-b
   	a

   ⇒ x1 + x2 =	-1
   	2

   
   Hasil kali akarnya :
   

   ⇒ x1.x2 =	c
   	a

   ⇒ x1.x2 =	-4
   	2

   ⇒ x1.x2 = -2
   
   Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
   Jumlah akarnya :
   ⇒ (x1 - 4) + (x2 - 4) = (x1 + x2) − 8
   ⇒ (x1 - 4) + (x2 - 4) = -½ − 8
   ⇒ (x1 - 4) + (x2 - 4) = -¹⁷⁄₂
   
   
   Hasil kali akarnya :
   ⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = (x1.x2) − 4x1 − 4x2 + 16
   ⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = (x1.x2) − 4(x1 + x2) + 16
   ⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = -2 − 4(-½) + 16
   ⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = -2 + 2 + 16
   ⇒ (x1 - 4).(x2 - 4) = 16
   
   Makara persamaan kuadrat barunya :
   ⇒ x² − {(x1 - 4) + (x2 - 4)}x + (x1 - 4).(x2 - 4) = 0
   ⇒ x² − (-¹⁷⁄₂)x + 16 = 0
   ⇒ 2x² + 17x + 32 = 0 
   
   Teknik Mudah :
   Jika akar-akar persamaan kuadrat yang gres ialah (x1 - n) dan (x2 - n), maka persamaan kuadrat gres itu sanggup kita cari dengan rumus :
   

   a (x + n)² + b(x + n) + c = 0

   
   Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang usang :
   ⇒ 2x² + x − 4 = 0
   Diketahui : a = 2, b = 1, dan c = -4.
   Dari  (x1 - 4) dan (x2 - 4), diketahui n = 4.
   
   Persamaan kuadart barunya ialah :
   ⇒ a (x + n)² + b(x + n) + c = 0
   ⇒ 2 (x + 4)² + 1(x + 4) + (-4) = 0
   ⇒ 2 (x² + 8x + 16) + x + 4 − 4 = 0
   ⇒ 2x² + 16x + 32 + x = 0
   ⇒ 2x² + 17x + 32 = 0
   

   Jawaban : D
   
   
4. Akar-akar dari persamaan kuadrat x² + 5x − 10 = 0 ialah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -x1 dan -x2 ialah ..... 

   A. x2 − 10x − 5 = 0	D. x2 + 5x − 10 = 0
   B. x2 − 5x + 10 = 0	E. x2 + 10x − 5 = 0
   C. x2 − 5x − 10 = 0

   
   Pembahasan :
   Tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
   ⇒ x² + 5x − 10 = 0
   Diketahui : a = 1, b = 5, dan c = -10.
   
   Jumlah akarnya :
   

   ⇒ x1 + x2 =	-b
   	a

   ⇒ x1 + x2 =	-5
   	1

   ⇒ x1 + x2 = -5
   
   Hasil kali akarnya :
   

   ⇒ x1.x2 =	c
   	a

   ⇒ x1.x2 =	-10
   	1

   ⇒ x1.x2 = -10
   
   Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
   Jumlah akarnya :
   ⇒ -x1 + (-x2) = -x1 - x2
   ⇒ -x1 + (-x2) = -(x1 + x2)
   ⇒ -x1 + (-x2) = -(-5)
   ⇒ -x1 + (-x2) = 5
   
   Hasil kali akarnya :
   ⇒ -x1(-x2) = x1.x2
   ⇒ -x1(-x2) = -10
   
   Maka persamaan kuadrat barunya ialah :
   ⇒ x² − {-x1 + (-x2)}x + -x1(-x2) = 0
   ⇒ x² − 5x + (-10) = 0
   ⇒ x² − 5x − 10 = 0 
   
   Teknik Mudah :
   Jika akar-akar persamaan kuadrat yang gres ialah -x1 dan -x2, maka persamaan kuadrat gres itu sanggup kita cari dengan rumus :
   

   ax² − bx + c = 0

   
   Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang usang :
   ⇒ x² + 5x − 10 = 0
   Diketahui : a = 1, b = 5, dan c = -10.
   Persamaan kuadart barunya ialah :
   ⇒ ax² − bx + c = 0
   ⇒ x² − 5x + (-10) = 0
   ⇒ x² − 5x − 10 = 0
   

   Jawaban : C
   
   
5. Diketahui persamaan kuadrat  x² + 4x + 6 = 0 mempunyai akar-akar m dan n. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2m dan 2n ialah .....

   A. x2 + 8x + 24 = 0	D. x2 − 24x + 8 = 0
   B. x2 − 8x + 24 = 0	E. x2 + 24x − 8 = 0
   C. x2 − 8x − 24 = 0

   
   Pembahasan :
   Tinjau persamaan kuadrat yang pertama :
   ⇒ x² + 4x + 6 = 0
   Diketahui : a = 1, b = 4, dan c = 6.
   
   Jumlah akarnya :
   

   ⇒ m + n =	-b
   	a

   ⇒ m + n =	-4
   	1

   ⇒ m + n = -4
   
   Hasil kali akarnya :
   

   ⇒ m.n =	c
   	a

   ⇒ m.n =	6
   	1

   ⇒ m.n = 6
   
   Selanjutnya tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar yang baru.
   Jumlah akarnya :
   ⇒ 2m + 2n = 2(m + n)
   ⇒ 2m + 2n = 2(-4)
   ⇒ 2m + 2n = -8
   
   Hasil kali akarnya :
   ⇒ 2m.2n = 4m.n
   ⇒ 2m.2n = 4(6)
   ⇒ 2m.2n = 24
   
   Selanjutnya susun persamaan kuadrat barunya :
   ⇒ x² − (2m + 2n)x + 2m.2n = 0
   ⇒ x² − (-8)x + 24 = 0
   ⇒ x² + 8x + 24 = 0 
   
   Teknik Mudah :
   Jika akar-akar persamaan kuadrat yang gres ialah nx1 dan nx2, maka persamaan kuadrat gres itu sanggup kita cari dengan rumus :
   

   a (^x⁄_n)² + b(^x⁄_n) + c = 0

   
   Sekarang perhatikan lagi persamaan kuadrat yang usang :
   ⇒ x² + 4x + 6 = 0
   Diketahui : a = 1, b = 4, dan c = 6.
   Dari 2m dan 2n diketahui n = 2.
   
   Maka persamaan kuadrat barunya ialah :
   ⇒ a (^x⁄_n)² + b(^x⁄_n) + c = 0
   ⇒ 1(^x⁄₂)² + 4(^x⁄₂) + 6 = 0
   ⇒ ¼ x² + 2x + 6 = 0
   ⇒ x² + 8x + 24 = 0
   

   Jawaban : A