Pembahasan Sbmptn Matematika Persamaan Logaritma

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ³log x + ³log (2x - 3) < 3 ialah .....

   A. {x| x > 3⁄2}

   B. {x| x > 9⁄2}

   C. {x| 0 < x < 9⁄2}

   D. {x| 3⁄2 < x < 9⁄2}

   E. {x| -3 < x < 9⁄2}

   
   Pembahasan :
   Syarat biar pertidaksamaan di atas terpenuhi ialah :
   ⇒ x > 0
   ⇒2x - 3 > 0
   
   Karena 2x - 3 > 0, maka :
   ⇒ 2x - 3 > 0
   ⇒ x > ³⁄₂ (memenuhi)
   
   Prinsip logaritma yang kita gunakan untuk menuntaskan soal ini :
   

   alog b + alog c = alog (b.c)

   
   Selanjutnya, dengan memakai prinsip logaritma, bentuk pertidaksamaan di atas sanggup disederhanakan dan diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat sebagai diberikut :
   ⇒ ³log x + ³log (2x - 3) < 3
   ⇒ ³log {x(2x - 3)} < ³log 3³
   ⇒ ³log {x(2x - 3)} < ³log 27
   ⇒ x(2x - 3) < 27
   ⇒ 2x² - 3x < 27
   ⇒ 2x² - 3x - 27 = 0
   ⇒ (2x - 9)(x + 3) < 0
   
   Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas sanggup diuji dengan memakai garis bilangan. Karena kurang dari nol (negatif), maka diperoleh nilai x :
   ⇒ -3 < x < ⁹⁄₂
   
   Karena sebelumnya kita sudah memperoleh nilai x yang memenuhi menurut syarat, yaitu x > ³⁄₂, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan ³log x + ³log (2x - 3) < 3 ialah :
   ⇒ HP = {x| ³⁄₂ < x < ⁹⁄₂}
   

   Jawaban : D

   
   
2. Diketahui persamaan sebagai diberikut :
   
   10(x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)} = (x - 4)²(x + 3)²
   Jumlah tiruana akar persamaan tersebut ialah .....
   

   A. -2	D. 1
   B. -1	E. 2
   C. 0

   
   Pembahasan :
   Untuk menyelesaiakn soal di atas, diberikut prinsip-prinsip logaritma yang sanggup kita gunakan :
   

   alog (b.c) = alog b + alog c

   alog bm = m alog b

   
   
   Berdasarkan prinsip tersebut kita peroleh :
   ⇒ 10(x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)} = (x - 4)²(x + 3)²
   ⇒ log {10.(x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)}} =  log (x - 4)²(x + 3)²
   
   Gunakan rumus nomor 1 untuk menyederhanakan ruas kiri :
   ⇒ log 10 + log (x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)} =  log {(x - 4)(x + 3)}²
   ⇒ 1 + log (x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)} =  log (x² - x - 12)²
   
   Gunakan rumus nomor 2 untuk menyederhanakan kedua ruas :
   ⇒ 1 + log (x² - x - 12).log (x² - x - 12) = 2 log (x² - x - 12)
   ⇒ 1 + {log (x² - x - 12)}² - 2 log (x² - x - 12) = 0
   ⇒ 1 + log² (x² - x - 12) - 2 log (x² - x - 12) = 0
   ⇒ log² (x² - x - 12) - 2 log (x² - x - 12) + 1 = 0
   
   Perhatikan persamaan di atas! persamaan tersebut sudah berbentuk persamaan kuadrat. Untuk mempergampang perhitungan, kita misalkan :
   ⇒ log (x² - x - 12) = p
   
   Maka persamaannya menjadi :
   ⇒ p² - 2p + 1 = 0
   ⇒ (p - 1)(p - 1) 0
   ⇒ p₁ = 1 dan p₂ = 1
   
   Karena p ada dua, maka akar-akar persamaan logaritma akan ada 4 yaitu x₁, x₂, x₃ dan x₄. Untuk mengetahui jumlah akar-akarnya, kembalikan pemisalan ke bentuk tiruanla :
   Untuk p₁ = 1
   ⇒ log (x² - x - 12) = 1
   ⇒ log (x² - x - 12) = log 10
   ⇒ x² - x - 12 = 10
   ⇒ x² - x - 22 =  0 ; diperoleh x₁ dan x₂.
   Diketahui : a = 1, b = -1, c = -22.
   
   Jumlah x₁ dan x₂ :
   ⇒ x₁ + x₂ =  ^-b⁄_a
   ⇒ x₁ + x₂ = ¹⁄₁
   ⇒ x₁ + x₂ = 1
   
   Untuk p₂ = 1, dengan cara yang sama menyerupai di atas, akan diperoleh x₃ dan x₄ dengan jumlah yang sama yaitu 1. melaluiataubersamaini demikian, jumlah seluruh akarnya ialah :
   ⇒ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 1 + 1
   ⇒ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 2
   

   Jawaban : E

   
   
3. Diketahui 2 (⁴log x)² - 2 ⁴log √x = 1. Jika akar-akar persamaan di atas ialah x₁ dan x₂ maka x₁ + x₂ sama dengan .....

   A. 5	D. 5⁄2
   B. 9⁄2	E. 9⁄4
   C. 17⁄4

   
   Pembahasan :
   ⇒ 2 (⁴log x)² - 2 ⁴log √x = 1
   ⇒ 2 (⁴log x)² - ⁴log (√x)² = 1
   ⇒ 2 (⁴log x)² - ⁴log x = 1
   ⇒ 2 (⁴log x)² - ⁴log x - 1 = 0
   
   Misalkan ⁴log x = p, maka :
   ⇒ 2p² - p - 1 = 0
   ⇒ (2p + 1)(p - 1) = 0
   ⇒ p = -½ atau p = 1
   
   Untuk p = -½, diperoleh :
   ⇒ ⁴log x = -½
   ⇒  ⁴log x = ⁴log 4^-½
   ⇒ ⁴log x = ⁴log 4^-½
   ⇒ x = 4^-½
   

   ⇒ x =	1
   	4½

   ⇒ x =	1
   	√4

   ⇒ x₁ = ½
   
   
   Untuk p = 1, diperoleh :
   ⇒ ⁴log x = 1
   ⇒  ⁴log x = ⁴log 4¹
   ⇒ ⁴log x = ⁴log 4¹
   ⇒ x = 4¹
   ⇒ x₂ = 4
   
   melaluiataubersamaini demikian, jumlah akar-akarnya ialah :
   ⇒ x₁ + x₂ = ½ + 4
   ⇒ x₁ + x₂ = ⁹⁄₂
   

   Jawaban : B