Mengubah Kalimat Terbuka Menjadi Pernyataan Berkuantor

Kalimat terbuka yakni kalimat yang belum sanggup ditentukan nilai kebenarannya alasannya mengandung peubah atau variabel. Nilai kebenaran suatu kalimat terbuka akan sangat bergantung pada nilai peubah yang digunakan. Pada artikel sebelumnya sudah dibahas bagaimana cara mengubah kalimat terbuka menjadi sebuah pernyataan sehingga sanggup ditentukan nilai kebenarannya. Pada peluang ini, Bahan berguru sekolah akan mengulas bagaimana cara mengubah suatu kalimat terbuka menjadi sebuah pernyataan berkuantor. Sebuah kalimat terbuka sanggup diubah menjadi kalimat berkuantor universal atau kalimat berkuantor eksistensial tergantung kuantor apa yang akan digunakan. Nilai kebenaran kalimat terbuka yang sudah diubah menjadi pernyataan berkuantor juga sanggup ditentukan.

Menggunakan Kuantor Universal

Sebuah kalimat terbuka sanggup diubah menjadi pernyataan dengan cara mengubah peubah atau variabel pada kalimat tersebut dengan nilai-nilai tertentu pada himpunan yang sudah ditentukan sehingga dihasilkan pernyataan bernilai benar atau pernyataan bernilai salah.

Selain dengan cara tersebut, kita juga sanggup mengubah sebuah kalimat terbuka menjadi pernyataan berkuantor. Kalimat terbuka yang dibubuhkan kuantor universal di bab depan kalimat tersebut akan menghasilkan pernyataan berkuantor universal.

Proses ini sanggup dilakukan dengan menambahkan kata tiruana atau setiap pada awal kalimat terbuka dan memilih himpunan semesta yang bersesuaian. Misal p(x) yakni kalimat terbuka yang akan diubah menjadi pernyataan berkuantor universal dengan himpunan semesta S, ditulis dengan notasi sebagai diberikut:

∀x ∈ S, p(x)

Notasi di atas sanggup dibaca "Untuk tiruana x anggota himpunan S, berlakulah p(x)". Notasi tersebut juga sanggup dipersingkat menjadi ∀x, p(x) dan dibaca "Untuk tiruana x berlakulah p(x)".

Sesudah kalimat terbuka diubaha menjadi sebuah pernyataan berkuantor universal, maka kita juga sanggup memilih nilai kebenarannya. Nilai kebenaran untuk pernyataan berkuantor universal ditentukan dengan cara merubah variabel dengan nilai menurut himpunan yang ditentukan.

melaluiataubersamaini demikian, nilai kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor universal yang disusun dari kalimat terbuka bergantung pada himpunan semseta yang ditinjau dan bentuk kalimat terbukanya.

misal 1 :
Ubah kalimat terbuka p(x) : x² + 6 > 0 menjadi kalimat berkuantor universal dan tentukan nilai kebenarannya jikalau himpunan semestanya yakni tiruana himpunan bilangan real.

Pembahasan :
Kalimat terbuka x² + 6 > 0 sanggup diubah menjadi pernyataan berkuantor universal sebagai diberikut :
∀x ∈ R, x² + 6 > 0

Pernyataan berkuantor di atas bernilai benar alasannya untuk tiruana x bilangan real, x² + 6 > 0 bernilai benar. Teknik menentukannya gampang, ingat bahwa untuk tiruana x bilangan real, x² akan menghasilkan bilangan yang lebih besar atau sama dengan nol sehingga niscaya x² + 6 > 0.
misal 2 :
Ubah kalimat terbuka p(x) : 3x + 4 = 10 menjadi kalimat berkuantor universal dan tentukan nilai kebenarannya untuk himpunan semesta tiruana himpunan bilangan real.

Pembahasan :
Kalimat terbuka 3x + 4 = 10 sanggup diubah menjadi pernyataan berkuantor universal sebagai diberikut :
∀x ∈ R, 3x + 4 = 10

Untuk melihat nilai kebenarannya, coba ganti x dengan salah satu bilangan real contohnya x = 1. Jika x diganti menjadi 1, maka diperoleh:
⇒ 3x + 4 = 10
⇒ 3(1) + 4 = 10
⇒ 7 = 10 (salah)

Jika x diganti menjadi 2, maka diperoleh:
⇒ 3x + 4 = 10
⇒ 3(2) + 4 = 10
⇒ 10 = 10 (benar)
Dari dua nilai di atas sanggup kita lihat bahwa p(x) bernilai benar jikalau x = 2 dan salah jikalau x = 1. Tetapi, perlu kita ingat bahwa pernyataan yang dibuat yakni pernyataan berkuantor universal yang artinya berlaku untuk tiruana.

Karena p(x) salah untuk x = 1, itu artinya tidak tiruana anggota bilangan real memenuhi p(x). melaluiataubersamaini demikian, pernyataan ∀x ∈ R, 3x + 4 = 10 bernilai salah walaupun ada satu nilai yang benar.

Baca juga : Pengertian Kuantor Universal dan Kuantor Khusus.

Menggunakan Kuantor Eksistensial

Jika pada awal kalimat terbuka dibubuhkan kuantor eksistensial berupa simbol "∃", maka akan dihasilkan pernyataan berkuantor eksistensial. Misal p(x) yakni kalimat terbuka, maka pernyataan berkuantor khusu jikalau himpunan semestany S sanggup ditulis dengan notasi sebagai diberikut:

∃x ∈ S, p(x)

Notasi di atas sanggup dibaca "Beberapa x anggota himpunan S, memenuhi p(x)" atau "Ada x anggota himpunan S, memenuhi p(x)". Arti dari ada pada notasi tersebut yakni sekurang-kurangnya ada satu nilai x yang membuat p(x) bernilai benar.

Sama menyerupai pernyataan berkuantor universal, nilai kebenaran pernyataan berkuantor khusus juga sanggup ditentukan dengan cara mengubah nilai peubah menurut himpunan semesta yang ditentukan dan menurut bentuk dari kalimat terbukanya.

Pernyataan berkuantor eksistensial akan bernilai benar, jikalau ada satu saja nilai x yang memenuhi p(x). Jika tidak ada sama sekali nilai x yang memenuhi p(x), maka pernyataan tersebut bernilai salah.

Sebagai pola sederhana, katakanlah di kelas X ada 40 anakdidik. Dari jumlah tersebut ternyata tiruananya menerima nilai di atas delapan pada ulangan matematika. Pada kondisi ini, maka pernyataan "Ada anakdidik kelas X yang menerima nilai di bawah delapan pada ulangan matematika" bernilai salah alasannya tiruana anakdidik nilainya di atas delapan.

misal :
Jika himpunan semestanya yakni himpunan bilangan real, maka ubahlah kalimat terbukan p(x) 4x - 3 = 5 menjadi pernyatan berkuantor eksistensial dan tentukan nilai kebenarannya.

Pembahasan :
Pernyataan berkuantor eksistensial dari 4x - 3 = 5 sanggup ditulis sebagai diberikut:
∃x ∈ R, 4x - 3 = 5

Karena sekurang-kurangnya harus ada satu nilai x yang membuat p(x) benar, maka kita sanggup mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
⇒ 4x - 3 = 5
⇒ 4x = 5 + 3
⇒ 4x = 8
⇒ x = 2

Ternyata nilai x yang memenuhi p(x) yakni x = 2. Karena 2 yakni bilangan real dan x = 2 menyebabkan p(x) bernilai benar, maka pernyataan berkuantor eksistensial tersebut bernilai benar.

Baca juga : Hubungan Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi.