Kumpulan Soal Dan Pembahasan Identitas Trigonometri

Kumpulan Soal dan Pembahasan Identitas Trigonometri | Selamat hadir para pecinta matematika  di contoh-soal.com. Kali ini akan saya bagikan pola soal identitas trigonometri beserta pembahasannya.

Soal Identitas Trigonometri dan Pembahasannya

1. Sederhanakan bentuk trigonometri  (1 + cot² β) / (cot β . sec² β).
   
   Pembahasan
   Dari penggalan (1 + cot² β) / (cot β . sec² β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.
   1 + cot² β = cosec² β
   ⇒ 1 + cot² β = 1/sin² β
   
   cot β . sec² β = (cos β/ sinβ) . sec² β
   ⇒ cot β . sec² β = (cos β/ sin β).(1/cos² β)
   ⇒ cot β . sec² β = cos β / sin β.cos² β
   
   Sesudah digabung kembali diperoleh : 
   (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) / (cos β / sinβ.cos² β)
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) . (sin β.cos² β / cos β)
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = sin β.cos² β / sin² β.cos β
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cos β / sin β
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cot β  
   Jadi, (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cot β.
2. Tentukan nilai dari (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α.
   
   Pembahasan
   Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing semoga tidak terlalu panjang.
   (sin α - cos α)² = sin² α - 2 sin α. cos α +  cos² α
   ⇒ (sin α - cos α)² = sin² α +  cos² α - 2 sin α. cos α
   ⇒ (sin α - cos α)² = 1 - 2 sin α. cos α
   Selanjutnya :
   (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α
   ⇒ (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α = 1
   Jadi, (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α = 1.
3. Buktikan bahwa sec⁴ α - sec² α = tan⁴ α + tan² α.
   
   Pembahasan
   sec⁴ α - sec² α = tan⁴ α + tan² α
   ⇒ sec² α (sec² α - 1) = tan² α (tan² α + 1)
   ⇒ sec² α (tan² α) = tan² α (sec² α)
   ⇒ sec² α . tan² α = sec² α . tan² α
   Jadi, sec⁴ α - sec² α = tan⁴ α + tan² α = sec² α . tan² α.
   Terbukti.
4. Nyatakan setiap bentuk diberikut ke dalam faktor-faktor yang paling sederhana.
   a. 1 - cos² β
   b. sin² α -  cos² α
   c. tan² α - 1
   d. sin² α - 2 sin α cos α + cos² α
   
   Pembahasan
   

   1. 1 - cos² β
      
      Dari identitas sin² β +  cos² β = 1, maka diperoleh :
      ⇒ 1 - cos² β = sin² β
      Jadi, 1 - cos² β = sin² β.
   2. sin² α -  cos² α
      
      Dari identitas sin² α +  cos² α = 1, maka sin² α  = 1 - cos² α.
      ⇒ sin² α -  cos² α = 1 - cos² α - cos² α
      ⇒ sin² α -  cos² α = 1 - 2 cos² α
      Karena 2 cos² α - 1 = cos 2α, maka 1 - 2 cos² α = - cos 2α.
      ⇒ sin² α -  cos² α = -cos 2α
      Jadi, sin² α -  cos² α = -cos 2α.
   3. tan² α - 1
      Dari identitas 1 + tan² α = sec² α, maka tan² α = sec² α - 1
      ⇒ tan² α - 1 = sec² α - 1 - 1
      ⇒ tan² α - 1 = sec² α - 2
   4. sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = sin² α + cos² α - 2 sin α cos α
      ⇒ sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = 1 - 2 sin α cos α
      ⇒ sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = 1 - sin 2α
      Jadi,  sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = 1 - sin 2α .
   
   
5. Buktikan tiap identitas trigonometri diberikut.
   a. 1/3 sin² α + 1/3 cos² α = 1/3
   b. 3 cos² α - 2 = 1 - 3 sin² α
   c. 3 + 5 sin² α = 8 - 5 cos² α
   
   Pembahasan
   1. 1/3 sin² α + 1/3 cos² α = 1/3
      ⇒ 1/3 (sin² α + cos² α) = 1/3
      ⇒ 1/3 (1) = 1/3
      ⇒ 1/3 = 1/3
      Terbukti.
      
   2. 3 cos² α - 2 = 1 - 3 sin² α
      
      Ingat bahwa sin² α + cos² α = 1, maka 3 sin² α + 3 cos² α = 3.
      Dari 3 sin² α + 3 cos² α = 3, maka 3 cos² α = 3 - 3 sin² α.
      

      ⇒ 3 cos² α - 2 = 1 - 3 sin² α
      ⇒ 3 - 3 sin² α - 2 = 1 - 3 sin² α
      ⇒ 1 - 3 sin² α = 1 - 3 sin² α.
      Terbukti.
   3. 3 + 5 sin² α = 8 - 5 cos² α
      Dari 5 sin² α + 5 cos² α = 5, maka 5 sin² α = 5 - 5 cos² α.
      ⇒ 3 + 5 sin² α = 8 - 5 cos² α
      ⇒ 3 + 5 - 5 cos² α = 8 - 5 cos² α
      ⇒ 8 - 5 cos² α = 8 - 5 cos² α.
      Terbukti. 

   
   

misal soal Identitas trigonometri dan Teknik Penyelesaiannya

Baca Juga : misal Soal Trigonometri lengkap

rumus identitas trigonometri

misal 1: Membuktikan Identitas Trigonometri
Buktikan bahwa sin θ cot θ = cos θ.
Pembahasan Untuk mengambarkan identitas ini, kita ubah bentuk ruas kiri menjadi bentuk ruas kanan.

Pada pola ini, kita mengubah bentuk pada ruas kiri menjadi bentuk yang ada pada ruas kanan. Ingat, kita mengambarkan identitas dengan mengubah bentuk yang satu menjadi bentuk yang lain.
misal 2: Membuktikan Identitas Trigonometri
Buktikan bahwa tan x + cos x = sin x (sec x + cot x).
Pembahasan Kita sanggup memulainya dengan menerapkan sifat distributif pada ruas kanan untuk mengalikan suku-suku yang ada dalam kurung dengan sin x. Kemudian kita sanggup mengubah ruas kanan menjadi bentuk yang ekuivalen serta memuat tan x dan cos x.

Dalam kasus ini, kita mengubah ruas kanan menjadi ruas kiri.
Sebelum kita lanjut ke contoh-contoh selanjutnya, mari kita daftar beberapa petunjuk yang mungkin mempunyai kegunaan dalam mengambarkan identitas-identitas trigonometri.

---

Petunjuk untuk Membuktikan Identitas

1. Biasanya akan lebih praktis bila kita memanipulasi ruas persamaan yang lebih rumit terlebih lampau.
2. Carilah bentuk yang sanggup disubstitusi dengan bentuk trigonometri yang ada dalam identitas trigonometri, sehingga didapatkan bentuk yang lebih sederhana.
3. Perhatikan operasi-operasi aljabar, menyerupai penjumlahan pecahan, sifat distributif, atau pemfaktoran, yang mungkin sanggup menyederhanakan ruas yang kita manipulasi, atau minimal sanggup membimbing kita kepada bentuk yang sanggup disederhanakan.
4. Jika kita tidak tahu apa yang harus dilakukan, ubahlah tiruana bentuk trigonometri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Mungkin hal tersebut sanggup memmenolong.
5. Selalu perhatikan ruas persamaan yang tidak kita manipulasi untuk memastikan langkah-langkah yang kita lakukan menuju bentuk dalam ruas tersebut.