Integral Fungsi Aljabar

Secara umum integral sanggup dibedakan menjadi dua, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.

Integral tak tentu fungsi f(x) ditetapkan oleh :

∫ f(x) dx = F(x) + C

dengan :
f(x) = integran/fungsi yang diintegralkan
F(X) = anti turunan dari f(x)
C = konstanta

Rumus-Rumus Dasar Integral

Untuk f(x) = a dengan a konstan, maka :
$$\mathrm{\mathbf{\int a\:dx=ax+C}}$$ misal
1.  ∫ 2 dx = 2x + C
2.  ∫ \(\frac{1}{2}\) dx = \(\frac{1}{2}\)x + C


Untuk f(x) = axⁿ , n ≠ −1 maka :
$$\mathrm{\mathbf{\int ax^{n}\:dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C}}$$ misal
1.  ∫ 2x⁴ dx = ...

     Jawab :
     ⇒ \(\mathrm{\frac{2}{4+1}}\)x⁴⁺¹ + C
     ⇒ \(\mathrm{\frac{2}{5}}\)x⁵ + C

2.   ∫ x^-6 dx = ...

     Jawab :
     ⇒ \(\mathrm{\frac{1}{-6+1}}\)x^-6+1 + C
     ⇒ \(\mathrm{-\frac{1}{5}}\)x^-5 + C


Untuk f(x) = (ax + b)ⁿ , n ≠ −1 maka :

$$\mathrm{\mathbf{\int (ax+b)^{n}\:dx=\frac{1}{a(n+1)}x^{n+1}+C}}$$ misal

1.  ∫ (2x − 1) ⁴ dx = ...

     Jawab :

     ⇒ \(\mathrm{\frac{1}{2(4+1)}}\)(2x − 1)⁴⁺¹ + C
     ⇒ \(\mathrm{\frac{1}{10}}\)(2x − 1)⁵ + C


2.  ∫ (x + 1)^-7 dx = ...

     Jawab :
     ⇒ \(\mathrm{\frac{1}{1(-7+1)}}\)(x + 1)^-7+1 + C
     ⇒ \(\mathrm{-\frac{1}{6}}\)(x + 1)^-6 + C


Untuk f(x) = \(\mathrm{\mathbf{\frac{1}{x}}}\), maka :
$$\mathrm{\int \mathbf{\frac{1}{x}\:dx=ln|x|+C}}$$

Untuk memilih integral yang integrannya memuat bentuk akar atau pecahan, langkah awal yang harus dilakukan yaitu mengubah terlebih lampau integran tersebut ke bentuk eksponen (pangkat).
Berikut beberapa sifat akar dan pangkat yang sering dipakai :

1. \(\mathrm{x^{m}.\;x^{n}=x^{m+n}}\)
2. \(\mathrm{\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}}\)
3. \(\mathrm{\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}}\)
4. \(\mathrm{\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\)
5. \(\mathrm{x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}}\)
6. \(\mathrm{\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{x^{m}}}=x^{\frac{m}{n}}}\)

misal
1.  \(\mathrm{\int \sqrt{x}\:dx=}\)

     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int x^{\frac{1}{2}}\:dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C}\)

2.  \(\mathrm{\int \frac{1}{x^{2}}\:dx=}\)

     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int x^{-2}\:dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+C}\)
     \(\mathrm{=-x^{-1}+C}\)
     \(\mathrm{=-\frac{1}{x}+C}\)

3.  \(\mathrm{\int x\sqrt[3]{\mathrm{x^{2}}}\:dx=}\)

     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int x.x^{\frac{2}{3}}\:dx}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow \int x^{\frac{5}{3}}\:dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{\frac{5}{3}+1}x^{\frac{5}{3}+1}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{3}{8}x^{\frac{8}{3}}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{3}{8}\sqrt[3]{x^{8}}+C}\) atau
     \(\mathrm{=\frac{3}{8}x^{2}\sqrt[3]{x^{2}}+C}\)

Sifat-Sifat Integral

1.  ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx   (k = konstan)

     misal
     ∫ 3x⁴ dx = 3 ∫ x⁴ dx
     ∫ 3x⁴ dx = 3 . \(\mathrm{\frac{1}{5}x^{5}+C}\)
     ∫ 3x⁴ dx =  \(\mathrm{\frac{3}{5}x^{5}+C}\)

2.  ∫{f(x) ± g(x)} dx =  ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

     misal

     ∫ (4x² + 3x − 2) dx = ...

     ⇒  ∫ 4x² dx + ∫ 3x dx − ∫ 2 dx

     = \(\mathrm{\frac{4}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-2x+C}\)

misal-misal Latihan Soal Integral Fungsi Aljabar

misal 1
Tentukan integral diberikut !

   
a.  ∫ (3x⁷ − π) dx = ...
     Jawab :
     = \(\mathrm{\frac{3}{7+1}}\)x⁷⁺¹ − πx + C
     = \(\mathrm{\frac{3}{8}}\)x⁸ − πx + C

b. ∫ (6x⁵ + 2x³ − x²) dx = ...
     Jawab :
     \(\mathrm{= \frac{6}{5+1}x^{5+1}+\frac{2}{3+1}x^{3+1}-\frac{1}{2+1}x}^{2+1}+C\)
     \(\mathrm{= x^{6}+\frac{1}{2}x^{4}-\frac{1}{3}x}^{3}+C\)

c. \(\mathrm{\int \frac{6x^{5}-2x^{4}+9}{x^{4}}\:dx=...}\)
     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int \left (\frac{6x^{5}}{x^{4}}-\frac{2x^{4}}{x^{4}}+\frac{9}{x^{4}}  \right )\:dx}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow \int \left (6x-2+9x^{-4}  \right )dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{6}{1+1}x^{1+1}-2x+\frac{9}{-4+1}x^{-4+1}+C}\)
     \(\mathrm{=3x^{2}-2x-3x^{-3}+C}\)
     \(\mathrm{=3x^{2}-2x-\frac{3}{x^{3}}+C}\)

d. \(\mathrm{\int \left (\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}  \right )\:dx=...}\)
     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int \left ( x^{\frac{1}{2}}+2x^{-\frac{1}{2}} \right )dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}+\frac{2}{-\frac{1}{2}+1}x^{-\frac{1}{2}+1}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+4x^{\frac{1}{2}}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+4\sqrt{x}+C}\)

e. \(\mathrm{\int \left ( x\sqrt{x}-\frac{x}{\sqrt{x}} \right )dx=...}\)
     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int \left (x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}  \right )dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C}\)

f.  \(\mathrm{\int \left ( \sqrt{x}+\frac{1}{ \sqrt{x}} \right )^{2}\:dx=}\)
     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int \left (x+2+\frac{1}{x}  \right )\:dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{1+1}x^{1+1}+2x+ln|x|+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{2}x^{2}+2x+ln|x|+C}\)

g.  \(\mathrm{\int \frac{1}{\sqrt[3]{(3x+1)^{2}}}\:dx}\)
     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int (3x+1)^{-\frac{2}{3}}\:dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{3\left ( -\frac{2}{3}+1 \right )}(3x+1)^{-\frac{2}{3}+1}+C}\)
     \(\mathrm{=(3x+1)^{\frac{1}{3}}+C}\)
     \(\mathrm{=\sqrt[3]{3x+1}+C}\)


misal 2
Tentukan f(x) bila diketahui :

a.  f '(x)  = 2x + 2 ; f(0) = −1

     Jawab :
     f(x) = ∫ f '(x) dx
     f(x) = ∫ (2x + 2) dx
     f(x) = x² + 2x + C

     f(0) = −1
     ⇔  (0)² + 2(0) + C = −1
     ⇔  C = −1

     Jadi, f(x) = x² + 2x − 1

b.  f ''(x) = 12x − 2 ; f(0) = 2 dan f '(1) = 4

     Jawab :
     f '(x) = ∫ f ''(x) dx
     f '(x) =  ∫ (12x − 2) dx
     f '(x) = 6x² − 2x + C

     f '(1) = 4
     ⇔  6(1)² − 2(1) + C = 4
     ⇔  C = 0

     diperoleh : f '(x) = 6x² − 2x

     f(x) = ∫ f '(x) dx
     f(x) = ∫ (6x² − 2x) dx
     f(x) = 2x³ − x² + C

     f(0) = 2
     ⇔  2(0)³ − (0)² + C = 2
     ⇔  C = 2

     Jadi, f(x) = 2x³ − x² + 2