Soal Dan Pembahasan Trigonometri Tangen Setengah Sudut

Pada peluang ini kita akan mencoba mengulas soal-soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri untuk setengah sudut (rumus sin ½α, cos ½α, dan tan ½α). Sebelumnya sudah dibahas beberapa soal untuk sinus dan cosinus setengah sudut. Sekarang kita akan mengulas beberapa soal wacana tangen setengah sudut.


Seperti yang disampaikan sebelumnya, pada rumus tangen setengah sudut kita akan melihat dengan terperinci hubungan antara sinus, cosinus, dan tangen. Rumus tangen setengah sudut diturunkan dari rumus sinus dan cosinus setengah sudut.

Penggunaan rumus tan ½α untuk memilih nilai trigonometri suatu sudut sanggup dikaitkan dengan identitas-identitas trigonometri yang sudah anda pelajari. Karena tangen ialah perbandingan antara sinus dan cosinus, maka anda sanggup memanfaatkan nilai sinus atau cosinus yang diketahui untuk menghitung nilai tangen.

Rumus untuk tan ½α

Pada artikel sebelumnya sudah dibahas rumus trigonometri untuk sinus dan cosinus setengah sudut. Berdasarkan identitas trigonometri, maka kita sanggup menurunkan rumus-rumus tersebut menjadi rumus tangen setengah sudut sebagai diberikut :

$\mathrm{tan\; \alpha \; =}\frac{\mathrm{sin\; \alpha }}{\mathrm{cos\; \alpha }}$

⇒ $\mathrm{tan\; ½\alpha \; =}\frac{\mathrm{sin\; ½\alpha }}{\mathrm{cos\; ½\alpha }}$

⇒ $\mathrm{tan\; ½\alpha \; = \pm }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; \alpha }}{\mathrm{1\; +\; cos\; \alpha }}$

Jadi, rumus untuk tan ½α ialah :

$\mathrm{tan\; ½\alpha \; = \pm }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; \alpha }}{\mathrm{1\; +\; cos\; \alpha }}$

Keterangan :
Tanda negatif atau positif diadaptasi dengan kuadran sudut sebagai diberikut :
⇒ Kuadran I : tangen positif.
⇒ Kuadran II : tangen negatif.
⇒ Kuadran III : tangen positif.
⇒ Kuadran IV : tangen negatif.

Soal dan Pembahasan

1. Jika β ialah sudut lancip, nyatakan perbandingan trigonometri :
   1. tan β dalam sudut 2β
   2. tan ½β

   
   Pembahasan :
   

   1. tan β dalam sudut 2β
      Karena sudut β lancip, berarti sudut β berada di kuadran I dengan begitu tangen bernilai positif.
      
      $\mathrm{tan\; \beta \; = }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; 2\beta }}{\mathrm{1\; +\; cos\; 2\beta }}$
      
      
   2. tan ½β
      Karena sudut β berada di kuadran I, maka sudut ½β juga berada di kuadran I. melaluiataubersamaini begitu tangen untuk sudut ½β juga bernilai positif.
      
      $\mathrm{tan\; ½\beta \; = }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; \beta }}{\mathrm{1\; +\; cos\; \beta }}$
   
   
   
   
2. Jika α sudut tumpul, maka nyatakan perbandingan trigonometri :
   1. tan α dalam sudut 2α
   2. tan ½α

   
   Pembahasan :
   

   1. tan α dalam sudut 2α
      Karena sudut α tumpul, berarti sudut α berada di kuadran II dengan begitu tangen bernilai negatif.
      
      $\mathrm{tan\; \alpha \; =\; - }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; 2\alpha }}{\mathrm{1\; +\; cos\; 2\alpha }}$
      
      
   2. tan ½α
      Karena sudut α berada di kuadran II, berarti sudut ½α berada di kuadran I. melaluiataubersamaini begitu tangen untuk sudut ½α bernilai positif. $\mathrm{ }$
      
      $\mathrm{tan\; ½\alpha \; = }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; \alpha }}{\mathrm{1\; +\; cos\; \alpha }}$

   
   
   
   
3. melaluiataubersamaini memakai rumus tan ½α, hitunglah nilai dari :
   1. tan ^π⁄₁₂
   2. tan 112 ½

   
   Pembahasan :
   

   1. tan ^π⁄₁₂ = tan ½(^π⁄₆)
      
      ⇒ $\mathrm{tan \; ^\pi⁄₁₂\; = }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">^\pi⁄₆</span>}}{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">^\pi⁄₆</span>}}$
      
      ⇒ $\mathrm{tan \; ^\pi⁄₁₂\; = }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; ½<span\; style="font-size:\; small;">\surd 3</span>}}{\mathrm{1\; +\; ½<span\; style="font-size:\; small;">\surd 3</span>}}$
      
      ⇒ $\mathrm{tan \; ^\pi⁄₁₂\; = }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{2\; - \; <span\; style="font-size:\; 16px;"><span\; style="font-size:\; small;"></span>\surd 3</span>}}{\mathrm{2\; + \; <span\; style="font-size:\; 18px;">\surd 3</span>}}$
      
      
      
      
      
   2. tan 112 ¹⁄₂ = tan ½(225^o)
      
      
      ⇒ $\mathrm{tan\; 112\; ¹⁄₂\; =\; -}\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">225^o</span>}}{\mathrm{1\; -\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">225^o</span>}}$
      
      ⇒ $\mathrm{tan\; 112\; ¹⁄₂\; =\; -}\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; (-½<span\; style="font-size:\; small;">\surd 2</span>)}}{\mathrm{1\; +\; (-½<span\; style="font-size:\; small;">\surd 2</span>)}}$
      
      ⇒ $\mathrm{tan\; 112\; ¹⁄₂\; =\; -}\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{2\; + \; <span\; style="font-size:\; small;">\surd 2</span>}}{\mathrm{2\; - \; <span\; style="font-size:\; small;">\surd 2</span>}}$
      
      

   
   
   
   
4. Nyatakan perbandingan trigonometri tan ¾α dalam sudut 1½α.
   
   Pembahasan :
   tan ¾α = tan ½(³⁄₂α)
   
   ⇒ $\mathrm{tan\; ¾\alpha \; = }$$\mathrm{\pm }$$\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; cos \; <span\; style="font-size:\; x-small;">³⁄₂</span>\alpha }}{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; x-small;">³⁄₂</span>\alpha }}$
   
   ⇒ $\mathrm{tan\; ¾\alpha \; = }$$\mathrm{\pm }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">1</span>½\alpha }}{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">1</span>½\alpha }}$
   
   
   
   
5. melaluiataubersamaini konsep tangen setengah sudut, tentukan nilai trigonometri diberikut :
   
   1. tan 45^o
   2. tan 30^o

   
   Pembahasan :
   Sudut 45^o dan 30^o berada di kuadran I jadi nilai tangennya positif.
   

   1. tan 45^o = tan ½(90^o)
      
      ⇒ $\mathrm{tan\; 45^o\; = }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; 90^o}}{\mathrm{1\; +\; cos\; 90^o}}$
      
      ⇒ $\mathrm{tan\; 45^o\; = }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; 0}}{\mathrm{1\; +\; 0}}$
      
      ⇒ cos 45^o = 1
      
      
   2. tan 30^o = tan ½(60^o)
      ⇒ $\mathrm{tan\; 30^o\; = }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; cos\; 60^o}}{\mathrm{1\; -\; cos\; 60^o}}$
      
      ⇒ $\mathrm{tan\; 30^o\; = }\mathrm{<sub\; style="font-size:\; 42px;">\surd </sub>}\frac{\mathrm{1\; -\; ½}}{\mathrm{1\; +\; ½}}$
      
      ⇒ tan 30^o = ⅓√3.