Integral parsial ditandai dengan adanya fungsi yang kalau diturunkan terus akan bernilai nol sehingga dalam hal ini spesialuntuk sebagian fungsi saja yang diintegralkan sedangkan yang lain diturunkan. Integral parsial dipakai dikala integral suatu fungsi tidak sanggup diselesaikan dengan metode anti turunan sesuai definisinya. Integral parsial umumnya dipakai pada integral hasil kali dua fungsi yang secara umum berbentuk ∫ f(x).g(x) dx. Integral parsial ditandai dengan pemisalan salah satu fungsinya f(x) = U dan g(x) dx = dV, sehingga dihasilkan bentuk lain yang biasanya disimbolkan dengan ∫ U dV. Beberapa buku mungkin memakai simbol yang tidak sama tetapi prinsipnya tetap sama.
Prinsipnya ialah menurunkan salah satu fungsi yang kalau diturunkan terus akan bernilai nol sedangkan fungsi lain diintegralkan. Teknik kedua ini dianggap lebih mudah dan lebih mudah dipahami. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat beberapa contoh.
misal Soal :
- Tentukan hasil dari ∫ (x + 2) sin (x + Ï€) dx.
Pembahasan :
Untuk teladan soal pertama ini kita akan coba bahas dengan dua cara yaitu dengan rumus integral parsial dan dengan tabel. Berikut cara pertama :
Misal U = x + 2, dV = sin (x + π) dx.
∫ U dV = UV − ∫ V dU
Berdasarkan rumus di atas, maka kita harus mencari terlebih lampau V dan dU :
U = x + 2
dU = dxdU = 1 dx
Untuk mencari V :
dV = sin (x + π) dx
⇒ ∫ dV = sin (x + Ï€) dx
⇒ V = ∫ sin (x + Ï€) dx
⇒ V = -cos (x + Ï€) + c
Kembali ke rumus integral parsial :
∫ U dV = UV − ∫ V dU
⇒ ∫ U dV = UV − ∫ V dU
⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + Ï€)) − ∫ -cos (x + Ï€) dU
Karena dU = dx, maka :
⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + Ï€)) − ∫ -cos (x + Ï€) dx
⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + Ï€)) − (-sin (x + Ï€) + c)
⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + Ï€)) + sin (x + Ï€) + c
Teknik kedua :
Turunkan U Integralkan dV x + 2 (+) sin (x + Ï€) dx 1 (−) -cos (x + Ï€) 0 -sin (x + Ï€)
Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + Ï€)) − (-sin (x + Ï€) + c
⇒ ∫ U dV = -(x + 2)(cos (x + Ï€) + sin (x + Ï€) + c
- Tentukan hasil dari ∫ x2 cos x dx.
Pembahasan :
Turunkan U Integralkan dV x2 (+) cos x dx 2x (−) sin x 2 (+) -cos x 0 -sin x
Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
⇒ ∫ U dV = x2 (sin x) − 2x (-cos x) + 2 (-sin x) + c
⇒ ∫ U dV = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + c
- Tentukan hasil dari ∫ (4x + 2) cos (2x +5) dx.
Pembahasan :
Turunkan U Integralkan dV 4x + 2 (+) cos (2x + 5) dx 4 (−) ½ sin (2x + 5) 0 -¼ cos (2x + 5)
Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
⇒ ∫ U dV = (4x + 2)(½ sin (2x + 5)) − 4 (-¼ cos (2x + 5)) + c
⇒ ∫ U dV = (2x + 1).sin (2x + 5) + cos (2x + 5) + c
- Tentukan hasil dari ∫ x (x + 4)5 dx.
Pembahasan :
Turunkan U Integralkan dV x (+) (x + 4)5 dx 1 (−) ⅙ (x + 4)6 0 ⅙.1⁄7 (x + 4)7
Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
⇒ ∫ U dV = x(⅙ (x + 4)6) − 1(1⁄42 (x + 4)7) + c
⇒ ∫ U dV = ⅙x (x + 4)6 − {1⁄42 (x + 4)(x + 4)6} + c
⇒ ∫ U dV = ⅙x (x + 4)6 − {1⁄42 x + 2⁄21)(x + 4)6} + c
⇒ ∫ U dV = {⅙x − (1⁄42 x + 2⁄21)}.(x + 4)6 + c
⇒ ∫ U dV = (⅙x − 1⁄42 x − 2⁄21).(x + 4)6 + c
⇒ ∫ U dV = (6⁄42 x − 2⁄21).(x + 4)6 + c
⇒ ∫ U dV = (1⁄7 x − 2⁄21).(x + 4)6 + c
⇒ ∫ U dV = 1⁄21 (3x − 2).(x + 4)6 + c
- Tentukan hasil dari ∫ x3 sin x dx
Pembahasan :
Turunkan U Integralkan dV x3 (+) sin x dx 3x2 (−) -cos x 6x (+) -sin x 6 (−) cos x 0 sin x
Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
⇒ ∫ U dV = x3 (-cos x) − 3x2 (-sin x) + 6x (cos x) − 6 (sin x) + c
⇒ ∫ U dV = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x − 6 sin x + c
⇒ ∫ U dV = (3x2 − 6) sin x − (x3 − 6x) cos x + c
Emoticon