Satuan Ukuran Sudut : Derajat Dan Radian

Secara umum, ada dua satuan yang dipakai dalam pengukuran sudut, yaitu derajat (°) dan radian (rad). Adapun kekerabatan antara keduanya yaitu sebagai diberikut :
$$\mathrm{1\;rad=57,2958...^{\circ}}$$ $$\mathrm{1^{\circ}=0,0174...\;rad}$$ Pertanyaannya yaitu darimana angka-angka tersebut didapatkan. Untuk menjawaban pertanyaan ini, kita sanggup memulai dari definisi diberikut.

Satu radian didefinisikan sebagai besar sudut sentra yang panjang busurnya sama dengan jari-jari.

Untuk menemukan kekerabatan radian dan derajat, kita sanggup memakai konsep perbandingan sudut sentra dan panjang busur. $$\mathrm{\frac{sudut\;pusat}{360^{\circ}}=\frac{panjang\;busur}{keliling}}$$
sudut sentra = 1 rad
panjang busur = r
keliling = 2πr

melaluiataubersamaini memakai perbandingan diatas $$\mathrm{\frac{1\;rad}{360^{\circ}}=\frac{r}{2\pi r}}$$
Jika disederhanakan akan diperoleh persamaan $$\mathrm{\mathbf{\pi \;rad=180^{\circ}}}$$

Jika kedua ruas pada persamaan diatas dibagi π, akan diperoleh $$\mathrm{1\;rad=\frac{180^{\circ}}{\pi }\approx 57,29^{\circ}}$$
dan kalau kedua ruas dibagi 180, akan diperoleh $$\mathrm{1^{\circ}=\frac{\pi }{180}\;rad\approx 0,02\;rad}$$

Konversi Radian ke Derajat

Karena 1 rad = \(\mathrm{\frac{180^{\circ}}{\pi }}\), untuk mengubah x radian ke derajat sanggup dilakukan dengan mengalikan x dengan \(\mathrm{\frac{180^{\circ}}{\pi }}\), ditulis $$\mathrm{x\;rad\;=x\cdot \frac{180^{\circ}}{\pi } }$$
misal 1
Ubahlah  sudut-sudut diberikut dalam derajat
a.  \(\frac{\pi}{3}\) rad = ... °
b.  4π rad = ... °

 Jawab :
a.  \(\frac{\pi}{3}\) rad  =  \(\frac{\pi}{3}\) . \(\mathrm{\frac{180^{\circ}}{\pi }}\)  =  60°
b.  4π rad  =  4π . \(\mathrm{\frac{180^{\circ}}{\pi }}\)  =  720°

Konversi Derajat ke Radian

Karena 1° = \(\mathrm{\frac{\pi}{180}}\) rad, untuk mengubah x derajat ke radian sanggup dilakukan dengan mengalikan x dengan \(\mathrm{\frac{\pi}{180}}\) rad, ditulis $$\mathrm{x^{\circ}=x\cdot \frac{\pi }{180}rad}$$
misal 2 

Ubahlah sudut-sudut diberikut dalam radian

a. 30° = ... rad

b. 270° = ... rad

Jawab :
a.  30°  =  30 . \(\mathrm{\frac{\pi}{180}}\) rad  =  \(\mathrm{\frac{\pi}{6}}\) rad
b.  270°  =  270 . \(\mathrm{\frac{\pi}{180}}\) rad  =  \(\mathrm{\frac{3\pi}{2}}\) rad

Sudut dalam Derajat Menit Detik

Pengukuran sudut dari jarak yang sangat jauh ibarat pengukuran garis lintang dan garis bujur ataupun pengukuran di bidang astronomi, diharapkan ketelitian yang sangat tinggi. Untuk itu hasil pengukuran sanggup berupa derajat desimal.

Sudut dalam derajat desimal biasa ditulis dalam bentuk derajat (°) menit (') dan detik (''), yang sering disebut dengan DMS (Degree Minute Second). Sebagai rujukan 47°15' 45'' dibaca 47 derajat 15 menit 45 detik.

Satu derajat didefinisikan sebesar 60 menit, ditulis $$1^{\circ}=60'$$ Satu menit didefinisikan sebesar 60 detik, ditulis $$1'=60''$$
Untuk mengubah derajat desimal ke bentuk Derajat Menit Detik atau sebaliknya, sanggup disimak pada rujukan diberikut.

misal 3
Ubahlah sudut 35,12° ke dalam bentuk derajat menit dan detik

Jawab :
35,12° = 35° + 0,12°
35,12° = 35° + 0,12 (60')
35,12° = 35° + 7,2'
35,12° = 35° + 7' + 0,2'
35,12° = 35° + 7' + 0,2 (60'')
35,12° = 35° + 7' + 12''
35,12° = 35°7'12''


misal 4
Ubahlah sudut 47°15'45'' ke dalam bentuk derajat desimal

Jawab :
47°19'12'' = 47° + 19' + 12''
47°15'45'' = 47° + 19' + 12\(\left ( \frac{1}{60} \right )'\)
47°15'45'' = 47° + 19' + 0,2'
47°15'45'' = 47° + 19,2'
47°15'45'' = 47° + 19,2\(\left ( \frac{1}{60} \right )^{\circ}\)
47°15'45'' = 47° + 0,32°
47°15'45'' = 47,32°

Hubungan Putaran dengan Besar Sudut

Besar sudut yang dibuat dalam satu putaran yaitu 360°, sanggup ditulis $$\mathrm{\mathbf{1\;putaran=360^{\circ}}}$$ sehingga $$\mathrm{\mathbf{1^{\circ}=\frac{1}{360}\;putaran}}$$
misal 5
Selesaikan persamaan diberikut
a.  \(\frac{3}{4}\) putaran = ... °
b.  45° = ... putaran
c.  2 putaran = ... rad
d.  \(\frac{\pi}{3}\) rad = ... putaran

Jawab :
a.   \(\frac{3}{4}\) putaran  =  \(\frac{3}{4}\) . 360°  =  270°

b.   45°  =  45 . \(\frac{1}{360}\) putaran  =  \(\frac{1}{8}\) putaran

c.   2 putaran  =  2 . 2π rad  =  4π rad

d.   \(\frac{\pi}{3}\) rad  =  \(\frac{\pi}{3}\) . \(\frac{1}{2\pi}\) putaran  =  \(\frac{1}{6}\) putaran