Rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri Dilengkapi Contoh

.com - Integral Fungsi Trigonometri. Ketika mengulas terkena pengertian dan jenis-jenis integral, edutafsi sudah menyinggung sedikit terkena jenis integral bedasarkan bentuk fungsinya. Jika dilihat dari bentuk fungsinya, maka ada beberapa jenis integral ibarat integral fungsi konstanta, integral fungsi pangkat, integral fungsi eksponen, integral fungsi trigonometri, dan sebagainya. Integral fungsi trigonometri yaitu sebuah integral yang integrannya berupa fungsi trigonometri. melaluiataubersamaini kata lain, pada integral tersebut fungsi yang akan diintegrasikan yaitu fungsi berbentuk trigonometri. Lalu, bagaimana bentuk dan rumus dasar untuk integral fungsi trigonometri? Pada peluang ini, edutafsi akan memaparkan beberapa rumus yang umum dalam integral fungsi trigonometri.

A. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Sama sepertti integral pada umumnya, integral fungsi trigonometri secara garis besar sanggup dibedakan menjadi dua jenis, yaitu integral tak tentu fungsi trigonometri dan integral tentu fungsi trigonometri. Sesuai dengan definisi integral tak tentu dan integral tentu, maka perbedaan keduanya terletak pada ada tidaknya batas untuk variabel integrasinya. Pada integral tak tentu fungsi trigonometri tidak ada batas untuk variabel integrasinya sedangkan pada integral tentu ada batas variabel integrasinya.

Integral tak tentu fungsi trigonometri ialah bentuk integral yang integran nya berbentuk fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tidak mempunyai batas. Karena variabel integrasinya tidak mempunyai batasan, maka hasil dari integral tak tentu fungsi trigonometri spesialuntuklah berupa penyelsaian umum yang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah sebuah tetapan integrasi yang disimbolkan dengan aksara c.

Karena fungsi integran (fungsi yang akan diintegralkan) berbentuk fungsi trigonometri, maka penyelesaiannya pun melibatkan beberapa konsep atau identitas trigonometri. Oleh lantaran itu, dalam materi ini, anakdidik sebaiknya mengingat kembali konsep-konsep penting yang ada dalam materi trigonometri termasuk identitas trigonometri dan turunan fungsi trigonometri.

Karena integral ialah operasi balikan dari diferensial (anti diferensial), maka integral dari fungsi trigonometri sanggup diselesaikan dengan berpatokan pada hasil dari turunan beberapa fungsi trigonometri. Misalnya, turunan dari sin x yaitu cos x, maka integral dari cos x yaitu sin x + c.

Secara umum, kalau f(x) ialah sebuah fungsi dalam bentuk trigonometri, maka integral tak tentu dari fungsi f(x) sanggup diselesaikan dengan rumus dasar integral tak tentu sebagai diberikut:

∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan :
f(x) = fungsi integran (dalam hal ini berbentuk trigonometri)
F(x) = penyelesaian umum dari integral f(x)
dx = variabel integrasi
c = tetapan integrasi.

Untuk melihat bagaimana proses memilih hasil integral tak tentu fungsi trigonometri, diberikut ini edutafsi jabarkan beberapa fungsi trigonometri yang umum dipakai dalam soal integral.

#1 Integral Fungsi cos x
Jika didiberikan fungsi F(x) = sin x dan f(x) yaitu turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(sin x)/dx
⇒ f(x) = cos x

Karena turunan dari sin x yaitu cos x, maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ cos x dx = sin x + c

Secara umum, persamaan tersebut sanggup diperluas sebagai diberikut:

∫ cos ax dx = 1/a sin ax + c

∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

misal :
Jika didiberikan f(x) = cos 3x + 5, maka tentukanlah integral dari f(x).

Pembahasan :
Dik : f(x) = cos 3x + 5 maka a = 3 dan b = 5
Dit :  ∫ f(x) dx = .... ?

Berdasarkan rumus di atas, maka diperoleh :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ (cos 3x + 5) dx
⇒ ∫ f(x) dx = 1/3 sin (3x + 5) + c.

#2 Integral Fungsi sin x
Jika didiberikan fungsi F(x) = cos x dan f(x) yaitu turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(cos x)/dx
⇒ f(x) = -sin x

Karena turunan dari cos x yaitu -sin x, maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ -sin x dx = cos x + c
⇒ ∫ sin x dx = -cos x + c

Secara umum, persamaan tersebut sanggup diperluas sebagai diberikut:

∫ sin ax dx = - 1/a cos ax + c

∫ sin (ax + b) dx = - 1/a cos (ax + b) + c

misal :
Tentukanlah hasil integrasi dari ∫ 6 sin 2x dx!

Pembahasan :
Dik : f(x) = 6 sin 2x maka a = 2
Dit :  ∫ 6 sin 2x dx = .... ?

Berdasarkan rumus di atas, maka diperoleh :
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = 6 ∫ sin 2x dx
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = 6 (-1/2 cos 2x + c)
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = -3 cos 2x + c.

#3 Integral Fungsi sec² x
Jika didiberikan fungsi F(x) = tan x dan f(x) yaitu turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(tan x)/dx
⇒ f(x) = sec² x

Karena turunan dari tan x yaitu sec² x, maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ sec² x dx = tan x + c

Secara umum, persamaan sanggup diperluas sebagai diberikut:

∫ sec2 ax dx = 1/a tan ax + c

∫ sec2 (ax + b) dx = 1/a tan (ax + b) + c

misal :
Tentukan hasil dari ∫ -4 sec² (8x) dx!

Pembahasan :
Dik : f(x) =  -4 sec² (8x), maka a = 8
Dit : ∫ f(x) dx = ...?

Berdasarkan rumus integral di atas, diperoleh:
⇒ ∫ -4 sec² (8x) dx = -4 ∫ sec² (8x) dx
⇒ ∫ -4 sec² (8x) dx = -4 (1/8 tan 8x + c)
⇒ ∫ -4 sec² (8x) dx = -½ tan 8x + c.

#4 Integral Fungsi tan x. sec x
Jika didiberikan fungsi F(x) = sec x dan f(x) yaitu turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(sec x)/dx
⇒ f(x) = tan x. sec x

Karena turunan dari sec x yaitu tan x. sec x, maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ tan x. sec x dx = sec x + c

Secara umum, persamaan sanggup diperluas sebagai diberikut:

∫ tan ax. sec ax dx = 1/a sec ax + c

∫ tan (ax + b). sec (ax + b) dx = 1/a sec (ax + b) + c

misal :
Jika didiberi sebuah fungsi f(x) = tan (2x + 5). sec (2x + 5), maka tentukan integral dari f(x).

Pembahasan :
Dik : f(x) = tan (2x + 5). sec (2x + 5), maka a = 2 dan b = 5
Dit : ∫ f(x) dx = ...?

Berdasarkan rumus integral di atas, maka diperoleh:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ tan (2x + 5). sec (2x + 5) dx
⇒ ∫ f(x) dx = ½ sec (2x + 5) + c.

B. Integral Tentu Fungsi trigonometri

Integral tentu fungsi trigonometri yaitu integral dengan integran berupa fungsi trigonometri dan mempunyai batas untuk variabel integrasinya. Karena fungsi integran berbentuk trigonometri, maka batas variabel integrasinya berupa besar sudut dan umumnya ditetapkan dengan π radian.

Secara umum, kalau f(x) ialah sebuah fungsi dalam bentuk trigonometri, maka integral tentu dari fungsi f(x) dengan batas atas b dan batas bawah a sanggup diselesaikan dengan rumus dasar integral tentu sebagai diberikut:

a∫b f(x) dx = F(b) − F(a)

Keterangan :
f(x) = fungsi integran (dalam hal ini berbentuk trigonometri)
dx = variabel integrasi (berupa sudut ditetapkan dalam π radian)
a = batas bawah variabel integrasi
b = batas atas variabel integrasi.
F(b) = hasil integrasi untuk batas atas
F(a) = hasil integrasi untuk batas bawah.

misal :
Tentukanlah hasil integral dari f(x) = cos x dengan batas atas ½π dan batas bawah 0.

Pembahasan :
Dik : f(x) = cos x, a = 0, b = ½π
Dit :  _o∫^½π f(x) dx = .... ?

Untuk mempergampang, kita uraikan satu-persatu. Kita sanggup tentukan F(x) terlebih lampau.
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ cos x dx = sin x + c
⇒ F(x) = sin x ..... (1)

Untuk batas atas, subtitusi x = b = π/2 ke persamaan (1):
⇒ F(x) = sin x
⇒ F(π/2) = sin π/2
⇒ F(π/2) = sin 90^o
⇒ F(π/2) = 1

Untuk batas bawah, subtitusi x = a = 0 ke persamaan (1):
⇒ F(x) = sin x
⇒ F(0) = sin 0
⇒ F(0) = 0

Berdasarkan rumus integral tentu, maka :
⇒ _a∫^b f(x) dx = F(b) − F(a)
⇒ _o∫^½π cos x dx = F(π/2) − F(0)
⇒ _o∫^½π cos x dx = 1 - 0
⇒ _o∫^½π cos x dx = 1.

Demikianlah pembahasan singkat terkena pengertian dan rumus integral fungsi trigonometri yang terdiri dari integral tak tentu dan integral tentu fungsi trigonometri dilengkapi dengan contoh. Jika materi mencar ilmu ini bermanfaa, menolong kami membagikannya kepada kawan-kawan anda melalui tombol share di bawah ini.