Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Jika u(x) dan v(x) ialah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, dan u‟(x) dan v‟(x) ialah turunannya, maka kita sanggup menurunkan rumus turunan hasil kali, hasil bagi dua fungsi dan pemangkatan fungsi, yakni sebagai diberikut:

Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal diberikut ini:

01. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar diberikut ini :
(a) f(x) = (x² – 4x)(2x + 3)
(b) f(x) = (2x² + 3x – 5)(4x – 2)

Jawab
(a) f(x) = (x² – 4x)(2x + 3)
Misalkan
u = x² – 4x maka u' = 2x
v = 2x + 3 maka v' = 2
maka
f '(x) = u'.v + u.v'
f '(x) = (2x)(2x + 3) + (x² – 4x)(2)
f '(x) = 2x² + 6x + 2x2 – 8x
f '(x) = 4x2 – 2x

(b) f(x) = (2x² + 3x – 5)(4x – 2)
Misalkan
u = 2x² + 3x – 5 maka u' = 4x + 3
v = 4x – 2 maka v' = 4
maka
f '(x) = u'.v + u.v'
f '(x) = (4x + 3)(4x – 2) + (2x² + 3x – 5)(4)
f '(x) = 16x² – 8x + 12x – 6 + 8x² + 12x – 20
f '(x) = 24x² + 16x – 26

02. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar diberikut ini

Jawab


03. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar diberikut ini :
f(x) = 3(2x + 4)⁵
Jawab
f(x) = 3(2x + 4)⁵
Misalkan u = 2x + 4 maka u' = 2
Kaprikornus f (x) = 3u⁵
f '(x) = 15u⁴.u'
f  '(x) = 15(2x + 4)⁴(2)
f  '(x) = 30(2x + 4)⁴

Disamping ketiga hukum di atas, terdapat juga hukum rantai untuk memilih turunan pemangkatan fungsi. Aturan ini mengambil dasar dari notasi Leibniz untuk turunan, sebagai diberikut :

Misalkan f, g dan h ialah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real, sehingga bila y = f { g(x) } maka hukum rantai untuk turunan fungsi y terhadap x ialah :

Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal diberikut ini:
04. melaluiataubersamaini hukum rantai, tentukanlah turunan setiap fungsi diberikut ini
y = 3(x² - 6x + 8)⁵

Jawab

Selain itu, ada juga turunan pertama, kedua, dan seterusnya. Penjelasannya sebagai diberikut.

Untuk lebih jelasnya, ikutilah teladan soal diberikut ini
05. Tentukanlah nilai turunan kedua dari setiap fungsi diberikut ini untuk setiap nilai x yang didiberikan
(a) f(x) = 2x³ –7x² –  4x + 8
untuk x = 5
Jawab
f(x) = 2x³ –7x² –  4x + 8
maka
f '(x) = 6x² –  14x – 4
f ''(x) = 12x – 14
Sehingga :
f ''(5) = 12(5) – 14
f '‟(2) = 60 – 14
f '‟(2) = 46