Pembahasan Soal Ujian Nasional Transfromasi Geometri

Ujian Nasional Matematika - Transformasi. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas beberapa soal ujian nasional bidang study matematika tentang transfomrasi geometri. Biasanya, ada dua soal tentang transformasi yang keluar dalam ujian nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal transformasi geometri yang paling sering muncul yaitu memilih persamaan bayangan suatu parabola akhir rotasi, memilih koordinat bayangan titik akhir transformasi oleh matriks yang bersesuaian, memilih persamaan bayangan garis oleh transformasi matriks bersesuaian, dan memilih bayangan kurva akhir dilatasi.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Transformasi Geometri

1. Persamaan bayangan parabola y = x² + 4 alasannya yaitu rotasi dengan sentra O(0,0) sejauh 180^o yaitu ...

   x = y2 + 4 x = -y2 + 4 x = -y2 - 4 y = -x2 - 4 y = x2 + 4

   
   Pembahasan :
   Parabola y = x² + 4 alasannya yaitu rotasi dengan sentra O(0,0) sejauh 180^o:
   
   

   -	x'	-	=	-	-1    0	-	.	-	x	-
   	y'				0   -1				y

   
   Sesuai dengan konsep perkalian matriks, kita peroleh :
   
   

   -	x'	-	=	-	-x	-
   	y'				-y

   
   Berdasarkan prinsip kesamaan matriks, maka berlaku :
   ⇒ x' = -x
   ⇒ x = -x'
   
   Selanjutnya :
   ⇒ y' = -y
   ⇒ y = -y'
   
   melaluiataubersamaini demikian persamaan bayangannya yaitu :
   ⇒ y' = x'² + 4
   ⇒ -y = (-x)² + 4
   ⇒ -y = x² + 4
   ⇒ y = -x² - 4
   

   Jawaban : D
   
   

2. Titik P(1,2) dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik P'(2,3) dan ke titik Q'(2,0) oleh matriks diberikut :

   A =	-	a+2      a	-
   		1      a+1

   
   Koordinat titik Q yaitu ....
   

   (1, -1) (-1, 1) (1, 1) (-1, -1) (1, 0)

   
   
   Pembahasan :
   Matriks A ialah matriks transformasi yang mentransformasikan titik P ke P' dan titik Q ke Q'.
   
   Titik awal dan titik final P diketahui, jadi kita dapat memilih nilai a dalam matriks menurut transformasi titik P, kemudian gres kita tentukan titik koordinat Q.
   
   P(1,2) → P'(2,3)
   
   

   -	2	-	=	-	a+2      a	-	.	-	1	-
   	3				1      a+1				2

   
   Sesuai dengan konsep perkalian matriks, kita peroleh :
   
   

   -	2	-	=	-	a + 2 + 2a	-
   	3				1 + 2a + 2

   
   Berdasarkan prinsip kesamaan matriks, maka berlaku :
   ⇒ a + 2 + 2a = 2
   ⇒ 3a + 2 = 2
   ⇒ 3a = 0
   ⇒ a = 0
   
   Karena a = 0, maka kita peroleh matriks A sebagai diberikut :
   

   A =	-	2   0	-
   		1   1

   
   Selanjutnya kita tinjau transformasi titik Q :
   
   Q(x,y) → Q'(2,0)
   
   

   -	2	-	=	-	2    0	-	.	-	x	-
   	0				1    1				y

   
   Sesuai dengan konsep perkalian matriks, kita peroleh :
   
   

   -	2	-	=	-	2x	-
   	0				x + y

   
   Berdasarkan prinsip kesamaan matriks, maka berlaku :
   ⇒ 2x = 2
   ⇒ x = 1
   
   Selanjutnya :
   ⇒ x + y = 0
   ⇒ 1 + y = 0
   ⇒ y = -1
   
   melaluiataubersamaini demikian koordinat tiitk Q yaitu Q(1, -1).
   

   Jawaban : A

   
   

3. Persamaan bayangan garis 4y + 3x - 2 = 0 oleh transfomrmasi yang bersesuaian dengan matriks :

   A =	-	0   -1	-
   		1   -1

   Dilanjutkan matriks :
   

   B =	-	1    1	-
   		1   -1

   yaitu .....
   

   8x + 7y - 4 = 0 8x + 7y - 2 = 0 x - 2y - 2 = 0 x + 2y - 2 = 0 5x + 2y - 2 = 0

   
   Pembahasan :
   Transformasi oleh matriks A dilanjut matriks B:
   
   

   -	x'	-	=	-	1     0	-	.	-	0   -1	-	.	-	x	-
   	y'				1    -1				1   -1				y

   
   Sesuai dengan konsep perkalian matriks, kita peroleh :
   
   

   -	x'	-	=	-	1    0	-	.	-	x	-
   	y'				-1  -2				y

   
   Sesuai konsep perkalian matriks, maka :
   
   

   -	x'	-	=	-	x	-
   	y'				-x - 2y

   
   Berdasarkan prinsip kesamaan matriks, maka berlaku :
   ⇒ x' = x
   ⇒ x = x'
   
   Kemudian :
   ⇒ y' = -x - 2y
   ⇒ 2y = -x - y'
   ⇒ y = -½x' - ½y'
   
   melaluiataubersamaini demikian, hasil transformasi garis 4y + 3x - 2 = 0 yaitu :
   ⇒ 4y + 3x - 2 = 0
   ⇒ 4(-½x' - ½y') + 3x' - 2 = 0
   ⇒ -2x' - 2y' + 3x' - 2 = 0
   ⇒ x' - 2y' - 2 = 0
   
   Jadi, persamaan bayangannyan yaitu :
   ⇒ x - 2y - 2 = 0
   

   Jawaban : C
   
   

4. Bayangan kurva y = x² - 3 kalau dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi sentra O dan faktor skala 2 yaitu ...

   y = ½x2 + 6 y = ½x2 - 6 y = ½x2 - 3 y = 6 - ½x2  y = 3 - ½x2

   
   Pembahasan :
   Jika diketahui dilatasi dengan sentra A(a,b), dan faktor skala k, maka berlaku :
   
   

   

   
   Berdasarkan soal, maka kurva y  = x² - 3 dicerminkan terhadap sumbu x kemudian dilatasi [0,2]
   
   Matriks yang berafiliasi dengan pencerminan terhadap sumbu x yaitu :
   

   ⇒	-	1    0	-
   		0   -1

   
   Matriks yang berafiliasi dengan [0,2] yaitu :
   

   ⇒	-	2   0	-
   		0   2

   
   Refleksi dilanjutkan dilatasi :
   
   

   -	x'	-	=	-	2     0	-	.	-	1    0	-	.	-	x	-
   	y'				0    2				0   -1				y

   
   Sesuai dengan konsep perkalian matriks, kita peroleh :
   
   

   -	x'	-	=	-	2    0	-	.	-	x	-
   	y'				0  -2				y

   
   Sesuai konsep perkalian matriks, maka :
   
   

   -	x'	-	=	-	2x	-
   	y'				-2y

   
   Berdasarkan prinsip kesamaan matriks, maka berlaku :
   ⇒ x' = 2x
   ⇒ x = ½x'
   
   Kemudian :
   ⇒ y' = -2y
   ⇒ y = -½y'
   
   Selanjutnya substitusi nilai x dan y ke persamaan :
   ⇒ y = x² - 3
   ⇒ -½y' = (½x')² - 3
   ⇒ -½y' = 1/4x'² - 3
   ⇒ y' = -½x'² + 6
   
   Jadi, persamaan bayangan kurva tersebut yaitu :
   ⇒ y = -½x² + 6
   ⇒ y = 6 - ½x² 
   

   Jawaban : D
   
   

5. Garis yang persamaannya x - 2y + 3 = 0 ditransformasikan dengan trasnformasi yang berkaitan dengan matriks :

   A =	-	1   -3	-
   		2   -5

   
   Persamaan bayangannya yaitu ....
   

   3x - 2y - 3 = 0 3x - 2y + 3 = 0 3x + 2x + 3 = 0 -x + y + 3 = 0 x - y + 3 = 0

   
   Pembahasan :
   Transformasi terhadap matriks A :
   
   

   -	x'	-	=	-	1    -3	-	.	-	x	-
   	y'				2   -5				y

   
   Sesuai dengan konsep matriks, A = B.C, maka C = B^-1A.
   
   

   -	x	-	= 1/1	-	-5    3	-	.	-	x'	-
   	y				-2   1				y'

   
   

   -	x'	-	=	-	-5x' + 3y'	-
   	y'				-2x' + y'

   
   Berdasarkan prinsip kesamaan matriks, maka berlaku :
   ⇒ x = -5x' + 3y'
   ⇒ y = -2x' + y'
   
   Selanjutnya substitusi nilai x dan y ke persamaan :
   ⇒ x - 2y + 3 = 0
   ⇒ -5x' + 3y' - 2(-2x' + y') + 3 = 0
   ⇒ -5x' + 4x' + 3y' - 2y' + 3 = 0
   ⇒ -x' + y' + 3 = 0
   
   Jadi, persamaan bayangannya yaitu :
   ⇒ -x + y + 3 = 0
   

   Jawaban : D