Pembahasan Soal Ujian Nasional Pertidaksaman

Ujian Nasional Matematika - Pertidaksamaan. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas beberapa soal ujian nasional bidang study matematika wacana pertidaksamaan. Setidaknya, ada satu atau dua soal wacana pertidaksamaan yang keluar dalam ujian nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal pertidaksamaan yang paling sering muncul yaitu memilih penyelesaian pertidaksamaan eksponen, memilih penyelesaian pertidaksamaan logaritma, memilih penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, dan menuntaskan pertidaksamaan harga mutlak.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Pertidaksamaan

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x² - 10x + 21 < 0, x E R yaitu ...

   {x| x < 3 atau x > 7, x E R} {x| x < -7 atau x > 3, x E R} {x| -7 < x < 3, x E R} {x| -3 < x < 7, x E R} {x| 3 < x < 7, x E R}

   
   Pembahasan :
   Berikut langkah-langah untuk mencari penyelesaian suatu pertidaksamaan kuadrat :
   

   1. Asumsikan pertidaksamaannya sebagai persamaan kuadrat
   2. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut
   3. Gambarkan garis bilangan untuk nilai x yang diperoleh
   4. Gunakan titik uji untuk melihat penyelesaian pertidaksamaannya

   
   
   Berdasarkan tahap di atas, maka pertama kita ambil persamaan kuadratnya kemudian kita tentukan akar-akarnya memakai pemfaktoran :
   ⇒ x² - 10x + 21 = 0
   ⇒ (x - 7)(x - 3) = 0
   ⇒ x = 7 atau x = 3
   
   Selanjutnya gambarkan garis bilangan dengan titik-titik sesuai nilai x yang kita peroleh kemudian lakukan pengujian. Sebagai titik uji kita ambil nilai x = 0, x = 4, dan x = 8.
   
   Untuk x = 0
   ⇒ x² - 10x + 21 < 0
   ⇒ 0² - 10(0) + 21 < 0
   ⇒ 21 < 0 (Salah)
   
   Untuk x = 4
   ⇒ x² - 10x + 21 < 0
   ⇒ 4² - 10(4) + 21 < 0
   ⇒ 16 - 40 + 21 < 0
   ⇒ -3 < 0 (Benar)
   
   Untuk x = 8
   ⇒ x² - 10x + 21 < 0
   ⇒ 8² - 10(8) + 21 < 0
   ⇒ 64 - 80 + 21 < 0
   ⇒ 5 < 0 (Salah)
   
   

   ++++++++	- - - - - - -	+++++++
   3		7

   
   Berdasarkan pengujian di atas, maka tempat penyelesaian pertidaksamaan tersebut berada di antara 3 dan 7. melaluiataubersamaini demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaannya yaitu :
   {x| 3 < x < 7, x E R}
   

   Jawaban : E

   
   

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5^2x - 6.5^x+1 + 125 < 0, x E R yaitu ....

   1 < x < 2 5 < x < 25 x < -1 atau x > 2 x < 1 atau x > 2 x < 5 atau x > 25

   
   Pembahasan :
   Berikut langkah-langkah menuntaskan pertidaksamaan eksponen menyerupai di atas :
   

   1. Ubah bentuk eksponen menjadi pangat x sehingga terbentuk persamaan kuadrat
   2. Misalkan bilangan pakat x sebagai variabel p untuk menyederhanakan persamaan kuadrat yang terbentuk
   3. Tentukan akar-akar persamaan kuadratnya
   4. Kembalikan nilai akar (p) ke pemisalan sebelumnya 
   5. Gambarkan garis bilangan sesuai dengan nilai x
   6. Lakukan pengujian untuk mengetahui penyelesaian pertidaksamaan

   
   Langkah apertama kitasumsikan pertidaksamaan sebagai persamaan, kemudian kita sederhanakan sebagai diberikut :
   ⇒ 5^2x - 6.5^x+1 + 125 = 0
   ⇒ (5^x)² - 6.5^x.5¹ + 125 = 0
   ⇒ (5^x)² - 30.5^x + 125 = 0
   
   Selanjutnya kita misalkan 5^x = p, sehingga :
   ⇒ (5^x)² - 30.5^x. + 125 = 0
   ⇒ p² - 30p + 125 = 0
   ⇒ (p - 25)(p - 5) = 0
   ⇒ p = 25 atau p = 5
   
   Selanjutnya kembalikan nilai p ke dalam pemisalan sebelumnya.
   Untuk p = 25
   ⇒ 5^x = p
   ⇒ 5^x =25
   ⇒ 5^x = 5²
   ⇒ x = 2
   
   Untuk p = 5
   ⇒ 5^x = p
   ⇒ 5^x = 5
   ⇒ 5^x = 5¹
   ⇒ x = 1
   
   Gambarkan nilai x ke garis bilangan kemudian lakukan pengujian untuk menuntaskan pertidaksamaan. Untuk mengujinya kita dapat gunaan x = 0, x = 3/2, dan x = 3.
   
   Untuk x = 0
   ⇒ 5^2x - 6.5^x+1 + 125 < 0
   ⇒ 5²⁽⁰⁾ - 6.5⁰⁺¹ + 125 < 0
   ⇒ 5⁰ - 6.5¹ + 125 < 0
   ⇒ 5 - 30 + 125 < 0
   ⇒ 100 < 0 (Salah)
   
   Untuk x = 3/2
   ⇒ 5^2x - 6.5^x+1 + 125 < 0
   ⇒ 5^2(3/2) - 6.5^3/2+1 + 125 < 0
   ⇒ 5³ - 6.5^5/2 + 125 < 0
   ⇒ 125 - 6.5^5/2 + 125 < 0
   ⇒ -6.5^5/2 < 0 (Benar)
   
   Untuk x = 3
   ⇒ 5^2x - 6.5^x+1 + 125 < 0
   ⇒ 5²⁽³⁾ - 6.5³⁺¹ + 125 < 0
   ⇒ 5⁶ - 6.5⁴ + 125 < 0
   ⇒ 15625 - 3750 + 125 < 0
   ⇒ 1200 < 0 (Salah)
   
   
   

   ++++++++	- - - - - - -	+++++++
   1		2

   
   Berdasarkan pengujian di atas, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut berada antara 1 dan 2, maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaannya yaitu : 1 < x < 2.
   

   Jawaban :  A
   
   

3. Nilai-nilai x dalam interval diberikut yang memenuhi pertidaksamaan :
   

   4x - x2	≥ 0 yaitu ....
   x2 + 2

   -2 ≤ x < -1 -2 ≤ x < 3 0 ≤ x < 4 x ≤ 2 x ≥ 2

   
   Pembahasan :
   Penyebut dari pertidaksamaan di atas yaitu x² + 2 ialah definit kasatmata artinya selalu bernilai kasatmata untuk setiap nilai x bilangan real.
   
   melaluiataubersamaini demikian, kita spesialuntuk perlu melihat pembilangnya :
   ⇒ 4x - x² ≥ 0
   ⇒ x(4 - x) ≥ 0
   
   Kita asumsikan sebagai persamaan :
   ⇒ x(4 - x) = 0
   ⇒ x = 0 atau x = 4
   
   Gambarkan ke garis bilangan dan uji. Kita ambil x = -1, x = 1, dan x = 5
   Untuk x = -1
   

   ⇒	4x - x2	≥ 0
   	x2 + 2

   ⇒	4(-1) - (-1)2	≥ 0
   	(-1)2 + 2

   ⇒	-5	≥ 0 (Salah)
   	3

   
   Untuk x = 1
   

   ⇒	4x - x2	≥ 0
   	x2 + 2

   ⇒	4(1) - (1)2	≥ 0
   	(1)2 + 2

   ⇒	3	≥ 0
   	3

   ⇒ 1 ≥ 0 (benar)
   
   Untuk x = 5
   

   ⇒	4x - x2	≥ 0
   	x2 + 2

   ⇒	4(5) - (5)2	≥ 0
   	(5)2 + 2

   ⇒	-5	≥ 0 (Salah)
   	27

   
   

   ---------	+++++++	---------
   0		4

   
   Berdasarkan pengujian di atas, maka tempat penyelesaian pertidaksamaan tersebut berada di antara 0 dan 4. melaluiataubersamaini demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaannya yaitu : {x| 0 ≤ x ≤ 4}.
   

   Jawaban : C
   
   

4. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan -x² + 4x + 5 ≤ 0 yaitu ....

   {x| -5 ≤ x ≤ -1} {x| -1 ≤ x ≤ 5} {x| -1 < x < 5} {x| x ≤ -1 atau x ≥ 5} {x| x < -1 atau x > 5}

   
   Pembahasan :
   Kita tentukan akar-akar persamaannya :
   ⇒ -x² + 4x + 5 = 0
   ⇒ (-x + 5)(x + 1) = 0
   ⇒ x = 5 atau x = -1
   
   Gambar garis bilangan dan ujia dengan x = -2, x = 0, dan x = 6.
   Untuk x = -2
   ⇒ -x² + 4x + 5 ≤ 0
   ⇒ -(-2)² + 4(-2) + 5 ≤ 0
   ⇒ -4 - 8 + 5 ≤ 0
   ⇒ -7 ≤ 0 (Benar)
   
   Untuk x = 0
   ⇒ -x² + 4x + 5 ≤ 0
   ⇒ -(0)² + 4(0) + 5 ≤ 0
   ⇒ 0 + 5 ≤ 0
   ⇒ 5 ≤ 0 (Salah)
   
   Untuk x = 6
   ⇒ -x² + 4x + 5 ≤ 0
   ⇒ -(6)² + 4(6) + 5 ≤ 0
   ⇒ -36 + 24 + 5 ≤ 0
   ⇒ -7 ≤ 0 (Benar)
   
   

   --------	+++++++	---------
   -1	0	5

   
   Dari pengujian di atas, maka penyelesaian pertidaksamaannya yaitu : {x| x ≤ -1 atau x ≥ 5}
   

   Jawaban : D

   
   

5. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |x - 2|² < 4|x - 2| + 12 yaitu ...

   x > 8 -4 < x < 8 -8 < x < 4 x < -8 atau x > 0 x > 4

   
   Pembahasan :
   Pertidaksamaan di atas ialah pertidaksamaan nilai mutlak. Untuk itu, diberikut sifat dasar dari harga mutlak yang harus kita pahami :
   
   

   

   
   Pertidaksamaan Nilai mutlak
   ⇒ |x - 2|² < 4|x - 2| + 12
   ⇒ |x - 2|² - 4|x - 2| - 12 < 0
   
   Asumsikan persamaan :
   ⇒ |x - 2|² - 4|x - 2| - 12 = 0
   
   Misalkan |x - 2| = a
   ⇒ |x - 2|² - 4|x - 2| - 12 = 0
   ⇒ a² - 4a - 12 = 0
   ⇒ (a - 6)(a + 2) = 0
   
   Substitusi nilai a =  |x - 2|
   ⇒ (|x - 2| - 6)(|x - 2| + 2) = 0
   
   Karena |x - 2| + 2 ialah definit kasatmata yaitu selalu bernilai kasatmata untuk tiruana nilai x real, maka kita harus meninau bab |x - 2| - 6.
   ⇒ |x - 2| - 6 < 0
   ⇒ (x - 2 + 6)(x - 2 - 6) < 0
   ⇒ (x - 8)(x + 4) < 0
   ⇒ x < 8 atau x > -4
   Jadi, nilai x yang memenuhi yaitu -4 < x < 8.
   

   Jawaban : B