Ujian Nasional Matematika - Lingkaran. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas beberapa soal ujian nasional bidang study matematika ihwal lingkaran. Biasanya, ada dua soal ihwal persamaan bulat yang keluar dalam ujian nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal bulat yang paling sering muncul ialah memilih persamaan garis singgung lingkaran, memilih persamaan lingaran bila diketahui sentra dan titik yang dilaluinya, dan memilih persamaan garis singgung yang melalaui titi potong antara bulat dan garis.
Kumpulan Soal Ujian Nasional Lingkaran
Salah satu persamaan garis singgung pada bulat (x - 2)2 + (y + 1)2 = 13 di titik yang berabsis -1 ialah ....
3x - 2y - 3 = 0
3x - 2y - 5 0
3x + 2x - 9 = 0
3x + 2y + 9 = 0
3x + 2x + 5 = 0
Pembahasan : Pada soal diketahui bahwa garis menyinggung bulat di titik berabsis -1, itu artinya x = -1.
Langkah pertama yang sanggup kita lakukan ialah mensubstitusikan nilai x = -1 ke persamaan lingkarannya untuk memperoleh nilai y dan koordinat titik singgungnya. ⇒ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 13 ⇒ (-1 − 2)2 + (y + 1)2 = 13 ⇒ (-3)2 + (y + 1)2 − 13 = 0 ⇒ 9 + y2 + 2y + 1 − 13 = 0 ⇒ y2 + 2y − 3 = 0 ⇒ (y + 3)(y - 1) = 0 ⇒ y = -3 atau y = 1 Kaprikornus titik singgungnya ialah (-1,-3) dan (-1,1).
Selanjutnya kita ubah pesamaan lingkaranya ke bentuk umum x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0, sebagai diberikut : ⇒ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 13 ⇒ x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 13 ⇒ x2 + y2 − 4x + 2y − 8 = 0 Dik : a = ½(-4) = -2, b = ½(2) = 1, c = -8
Persamaan garis singgung bulat untuk x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 sanggup ditentukan dengan rumus :
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0
Karena ada dua titik, maka kita coba keduanya. Untuk titik (-1,-3) substitusi x1 = -1 dan y1 = -3 : ⇒ x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = ⇒ (-1)x + (-3)y + (-2)(-1 + x) + (1)(-3 + y) + (-8) = 0 ⇒ -x − 3y + 2 − 2x − 3 + y − 8 = 0 ⇒ -3x − 2y − 9 = 0 ⇒ 3x + 2y + 9 = 0
Teknik II : Dari x2 + y2 + 12x - 6y + 13 = 0 Dik : a = ½(12) = 6, b = ½(-6) = -3, c = 13
Persamaan garis singgung bulat untuk x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 sanggup ditentukan dengan rumus :
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0
Karena ada dua titik, maka kita coba keduanya. Untuk titik (-2,-1) substitusi x1 = -2 dan y1 = -1 : ⇒ x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = ⇒ (-2)x + (-1)y + (6)(-2 + x) + (-3)(-1 + y) + 13 = 0 ⇒ -2x − y − 12 + 6x + 3 − 3y + 13 = 0 ⇒ 4x − 4y + 4 = 0 ⇒ x − 2y + 1 = 0
Jawaban : B
Persamaan bulat yang pusatnya terletak pada garis 2x - 4y - 4 = 0 serta menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif ialah ...
x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0
x2 + y2 + 4x + 4y + 8 = 0
x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0
x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0
x2 + y2 - 2x - 2y + 4 = 0
Pembahasan : Karena menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif, berarti lingaran berada di kuadran III.
Jika kita misalkan sentra bulat ialah (-a, -b), maka berlaku : r = |-a| = a r = |-b| = b melaluiataubersamaini demikian a = b.
Dari soal, diketahui bahwa sentra bulat (-a,-b) terletak pada garis 2x - 4y - 4 = 0, maka substitusikanlah x = -a dan y = -b ke persamaan tersebut. ⇒ 2x - 4y - 4 = 0 ⇒ 2(-a) - 4(-b) - 4 = 0 ⇒ -2a + 4b - 4 = 0 ⇒ -2a + 4b = 4
Karena a = b, maka : ⇒ -2a + 4a = 4 ⇒ 2a = 4 ⇒ a = 2
Karena a = 2, maka b = 2 dengan demikian kita peroleh titik sentra (-2,-2) dan jari-jari bulat r = |-2| = 2.
Persamaan bulat yang diketahui sentra (a,b) dan jari-jari (r) sanggup ditentukan memakai rumus diberikut :
Lingaran L = (x + 1)2 + (y - 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung bulat yang melalui titik potong antara bulat dan garis tersebut ialah ...
x = 2 dan x = -4
x = 2 dan x = -2
x = -2 dan x = 4
x = -2 dan x = -4
x = 8 dan x = -10
Pembahasan : Langkah awal kita substitusikan nilai y = 3 ke persamaan bulat untuk mengetahui titik potongnya : ⇒ (x + 1)2 + (y - 3)2 = 9 ⇒ (x + 1)2 + (3 - 3)2 = 9 ⇒ (x + 1)2 = 9 ⇒ x + 1 = ±3 ⇒ x = 3 - 1 = 2 atau x = -3 - 1 = -4 Kaprikornus titik potongnya (2,3) dan (-4,3)
Selanjutnya, untuk mengetahui garis singgungnya, kita substitusikan titik yang sudah kita peroleh ke persamaan diberikut :
(x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r2
Nilai a, b dan r kita peroleh dari persamaan lingkarannya. Dari (x + 1)2 + (y - 3)2 = 9 Dik a = -1, b = 3 dan r = 3
Karena ada dua titik, maka garis singgungnya kita lihat menurut kedua titik tersebut. Untuk (2,3), substitusix1 = 2 dan y1 = 3 ⇒ (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r2 ⇒ (x + 1)(2 + 1) + (y - 3)(3 - 3) = 9 ⇒ 3x + 3 = 9 ⇒ 3x = 9 - 3 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
Posted by 
Emoticon