Pembahasan Soal Ujian Nasional Fungsi Kuadrat

Ujian Nasional Matematika - Fungsi Kuadrat. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas beberapa soal ujian nasional bidang study matematika wacana fungsi kuadrat. Biasanya, ada satu soal wacana fungsi kuadrat yang keluar dalam ujian nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal fungsi kuadrat yang paling sering muncul ialah memilih nilai koefisien yang memenuhi karakteristik fungsi kuadrat, memilih fungsi kuadrat jikalau diketahui titik balik dan titik yang dilaluinya, dan memilih fungsi kuadrat menurut grafik.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Fungsi Kuadrat

1. Grafik fungsi kuadrat f(x) = x² + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi ialah ....

   A. -4

   B. -3

   C. 0

   D. 3

   E. 4

   
   Pembahasan :
   Karena fungsi kuadrat f(x) = x² + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4, maka berlaku :
   ⇒ f(x) = y
   ⇒ x² + bx + 4 = 3x + 4
   ⇒ x² + bx - 3x + 4 - 4 = 0
   ⇒ x² + (b - 3)x = 0
   Dik : a = 1, b = b - 3, c = 0
   
   Selanjutnya, kembali kita ingat kekerabatan antara kurva fungsi kuadrat dengan garis menurut nilai diskriminannya sebagai diberikut :
   

   1. Jika D > 0, saling memotong di dua titik
   2. Jika D = 0, bersinggungan
   3. Jika D < 0, tidak berpotongan dan tidak menyinggung

   
   Sesuai dengan karater di atas, maka untuk kurva dan garis yang saling bersinggungan, berlaku :
   ⇒ D = 0
   ⇒ b² - 4ac = 0
   ⇒ (b - 3)² - 4(1)(0) = 0
   ⇒ (b - 3)² = 0
   ⇒ b = 3
   Jadi, nilai b yang memenuhi ialah 3.
   

   Jawaban : D
   
   

2. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3) ialah ....
   1. y = x² - 2x + 1
   2. y = x² - 2x + 3
   3. y = x² + 2x - 1
   4. y = x² + 2x + 1
   5. y = x² - 2x - 3

   
   Pembahasan :
   Sebelum kita menuntaskan soal di atas, ada baiknya kita ingat kembali sifat grafik fungsi kuadrat menurut nilai a nya :
   

   1. Jika a > 0
      1. Kurva terbuka ke atas
      2. Titik balik minimum

      
      
   2. Jika a < 0
      1. Kurva terbuka ke bawah
      2. Titik balik maksimum

   
   Pada soal diketahui titik balik minimum, berbarti nilai a nya lebih besar dari nol atau posifit. Pada soal kebetulan tiruana nilai a nya positif.
   
   Untuk memilih fungsi kuadrat, kita sanggup memakai beberapa rumus diberikut tergantung pada apa yang diketahui :
   

   1. Kurva memotong sumbu x di dua titik dan diketahui sebuah titik lain

      y = a(x − x1)(x − x2)

      
      
   2. Diketahui tiitk balik (p,q) dan sebuah titik lain

      y = a(x − p)2 + q

      
      
   3. Diketahui tiga titik sebarang

      y = ax2 + bx + c

   
   Karena pada soal diketahui titik balik dan sebuah titik lainnya, maka kita sanggup memakai rumus yang kedua.
   
   Dari soal diketahui titik balik (1,2), maka p = 1, q = 2 :
   ⇒ y = a(x − p)² + q
   ⇒ y = a(x − 1)² + 2
   
   Melalui titik (2,3), maka substitusi x = 2, y = 3 :
   ⇒ y = a(x − 1)² + 2
   ⇒ 3 = a(2 − 1)² + 2
   ⇒ 3 = a(1)² + 2
   ⇒ 3 = a + 2
   ⇒ a = 3 - 2
   ⇒ a = 1
   
   Selanjutnya kita sumbstitusikan nilai a ke persamaan awal :
   ⇒ y = a(x − 1)² + 2
   ⇒ y = 1(x − 1)² + 2
   ⇒ y = x² − 2x + 1 +  2
   ⇒ y = x² − 2x + 3
   

   Jawaban : B
   
   

3. Gambar tersebut ialah grafik fungsi kuadrat ....
   
   

   

   
   

   1. y = x² + 2x + 3 
   2. y = x² − 2x − 3  
   3. y = x² + 2x − 3 
   4. y = -x² − 2x + 3  
   5. y = -x² + 2x + 3

   
   Pembahasan :
   Dari gambar sanggup kita lihat bahwa kurva grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum, itu artinya nilai a pada fungsi kuadrat itu bernilai negatif.
   
   melaluiataubersamaini demikian, opsi jawabanan yang sesuai menurut huruf tersebut ialah opsi D dan E, sedangkan A, B, dan C sudah niscaya salah alasannya a nya positif.
   
   Dari gambar terperinci terlihat bahwa kurva memotong sumbu x di dua titikk dan melalui satu titik lainnya. Selain itu, kurva juga diketahui titik baliknya.
   
   

   

   
   melaluiataubersamaini demikian, ada dua cara yang sanggup kita gunakan yaitu menurut titik potong terhadap x dan menurut tiitk puncaknya.
   
   Teknik I :
   Sesuai dengan teori yang sudah dibahas pada soal nomor 2, fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di dua titik dan melalui satu titik lainnya sanggup ditentukan dengan rumus diberikut :
   

   y = a(x − x1)(x − x2)

   
   Kurva memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (3,0) :
   ⇒ y = a(x − x₁)(x − x₂)
   ⇒ y = a(x − (-1))(x − 3)
   ⇒ y = a(x + 1)(x − 3)
   
   Selanjutnya kurva melalui titik (0,3) substitusi nilai x = 0, y = 3:
   ⇒ y = a(x + 1)(x − 3)
   ⇒ 3 = a(0 + 1)(0 − 3)
   ⇒ 3 = -3a
   ⇒ a = -1
   
   Substitusi nilai a ke persamaan awal :
   ⇒ y = a(x + 1)(x − 3)
   ⇒ y = (-1)(x² - 2x - 3)
   ⇒ y = -x² + 2x + 3
   
   Teknik II :
   Fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (p,q) dan melalui titik lainnya sanggup ditentukan dengan rumus diberikut :
   

   y = a(x − p)2 + q

   
   Titik balik (1,4) maka p = 1, q = 4 :
   ⇒ y = a(x − p)² + q
   ⇒ y = a(x − 1)² + 4
   
   Melalui titik (0,3) substitusi nilai x = 0, y = 3 :
   ⇒ y = a(x − 1)² + 4
   ⇒ 3 = a(0 − 1)² + 4
   ⇒ 3 = a + 4
   ⇒ a = -1
   
   Substitusi nilai a = -1 ke persamaan awal :
   ⇒ y = a(x − 1)² + 4
   ⇒ y = -1(x − 1)² + 4
   ⇒ y = -1(x² - 2x + 1) + 4
   ⇒ y = -x² + 2x - 1 + 4
   ⇒ y = -x² + 2x + 3
   

   Jawaban : E

   
   
   

   
   

4. Jika grafik fungsi f(x) = x² + px + 5 menyinggung garis 2x + y = 1 dan p > 0, maka nilai p yang memenuhi ialah ...

   A. -6	D. 4
   B. -4	E. 6
   C. -2

   
   Pembahasan :
   Sebelumnya, kita ubah dulu bentuk persamaan garisnya :
   ⇒ 2x + y = 1
   ⇒ y = 1 - 2x
   
   Karena fungsi f(x) = x² + px + 5 menyinggung garis 2x + y = 1, maka berlaku :
   ⇒ f(x) = y
   ⇒ x² + px + 5 = 1 - 2x
   ⇒ x² + px + 2x + 5 - 1 = 0
   ⇒ x² + (p + 2)x + 4 = 0
   Dik a = 1, b = p + 2, dan c = 4
   
   Seperti teori yang diuraikan pada soal 1, syarat bersinggungan ialah :
   ⇒ D = 0
   ⇒ b² - 4ac = 0
   ⇒ (p + 2)² - 4(1)(4) = 0
   ⇒ p² + 4p + 4 - 16 = 0
   ⇒ p² + 4p - 12 = 0
   ⇒ (p + 6)(p - 2) = 0
   ⇒ p = -6 atau p = 2
   
   Karena pada soal syaratnya p > 0, maka nilai p yang memenuhi ialah p = 2.
   

   Jawaban : D