Notasi Sigma Dan Induksi Matematika

Pertidaksamaan irasional ialah suatu bentuk pertidaksamaan yang fungsi-fungsi pembentuknya berada dibawah tanda akar, baik fungsi pada ruas kiri, ruas kanan ataupun pada kedua ruasnya.

Untuk semesta bilangan real, pertidaksamaan irasional akan terdefinisi kalau syarat akar terpenuhi yaitu fungsi yang berada dibawah tanda akar bernilai lebih dari atau sama dengan nol.

Penyelesaian dari pertidaksamaan irasional dilakukan dengan cara menguadratkan kedua ruas yang lalu disederhanakan dengan operasi-operasi aljabar sampai diperoleh suatu interval tertentu. Solusi kesudahannya ialah irisan dari syarat akar dengan interval yang sudah diperoleh tadi.

Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan Irasional Beserta Solusi

1.  Bentuk \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{f(x)}>k}}\)

Untuk k ≥ 0
Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ f(x) > k²

Untuk k < 0
Solusi : f(x) ≥ 0

misal 1
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{x-2}>3}\)

Jawab :
x − 2 ≥ 0 ∩ x − 2 > 3²
x ≥ 2 ∩ x > 11
⇒ x > 11

HP = {x > 11}


misal 2
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{x+3}>-2}\)

Jawab :
x + 3 ≥ 0
⇒ x ≥ −3

HP = {x ≥ −3}


2.  Bentuk \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{f(x)}<k}}\)

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ f(x) < k²

Bentuk diatas spesialuntuk memiliki solusi kalau k > 0. Jika k ≤ 0, maka pertidaksamaan diatas tidak memiliki solusi/penyelesaian.

misal 3
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{2x-1}<1}\)

Jawab :
2x − 1 ≥ 0 ∩ 2x − 1 < 1²
x ≥ \(\frac{1}{2}\) ∩ x < 1
⇒ \(\frac{1}{2}\) ≤ x < 1

HP = {\(\frac{1}{2}\) ≤ x < 1}


3.  Bentuk \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{f(x)}>g(x)}}\)

f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) > (g(x))² ......(1)
f(x) ≥ 0 ∩ g(x) < 0 ................................(2)

Solusi : 1 ∪ 2

misal 4
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{x+2}>x}\)

Jawab :
x + 2 ≥ 0 ∩ x ≥ 0 ∩ x + 2 > x²
x ≥ −2 ∩ x ≥ 0 ∩ x² −x − 2 < 0
x ≥ −2 ∩ x ≥ 0 ∩ −1 < x < 2

0 ≤ x < 2 ....(1)

x + 2 ≥ 0 ∩ x < 0
x ≥ −2 ∩ x < 0

−2 ≤ x < 0 ....(2)

1 ∪ 2 ⇒ −2 ≤ x < 2

HP = {−2 ≤ x < 2}


4.  Bentuk \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{f(x)}<g(x)}}\)

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) > 0 ∩ f(x) < (g(x))²

misal 5
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{x+5}<x-1}\)

Jawab :
x + 5 ≥ 0 ∩ x − 1 > 0   ∩ x + 5 < (x − 1)²
x ≥ −5 ∩ x > 1 ∩ x + 5 < x² −2x + 1
x ≥ −5 ∩ x > 1 ∩ x² − 3x − 4 > 0
x ≥ −5 ∩ x > 1 ∩ x < −1 atau x > 4
⇒ x > 4

HP = {x > 4}


5.  Bentuk \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{f(x)}>\sqrt{g(x)}}}\)

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) > g(x)

misal 6
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{2x-4}>\sqrt{x-6}}\)

Jawab :
2x − 4 ≥ 0 ∩ x − 6 ≥ 0 ∩ 2x − 4 > x − 6
x ≥ 2 ∩ x ≥ 6 ∩ x > −2
⇒ x ≥ 6

HP = {x ≥ 6}


6.  Bentuk \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{f(x)}<\sqrt{g(x)}}}\)

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) < g(x)

misal 7
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{2x-1}<\sqrt{1+x}}\)

Jawab :
2x − 1 ≥ 0 ∩ 1 + x ≥ 0 ∩ 2x − 1 < 1 + x
x ≥ \(\frac{1}{2}\) ∩ x ≥ −1 ∩ x < 2
⇒ \(\frac{1}{2}\) ≤ x < 2

HP = {\(\frac{1}{2}\) ≤ x < 2}