Posted by Persamaan bulat dengan sentra O(0, 0) dan jari-jari r yaitu $$\mathrm{\mathbf{x^{2}+y^{2}=r^{2}}}$$
Bukti :Didiberikan sebuah bulat dengan sentra O(0, 0) dan titik A(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran.
Jika titik A diproyeksikan ke sumbu-x dengan titik proyeksi A', maka akan terbentuk segitiga OAA'. Segitiga OAA' siku-siku di A' dengan
OA' = x
AA' = y
OA = r
melaluiataubersamaini memakai teorema Phytagoras pada segitiga OAA' akan diperoleh persamaan
(OA')2 + (AA')2 = (OA)2
x2 + y2 = r2
Karena A(x, y) sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas akan memenuhi setiap titik pada lingkaran. Jadi, sanggup disimpulkan bahwa persamaan bulat yang berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r yaitu $$\mathrm{x^{2}+y^{2}=r^{2}}$$
Bentuk Baku Persamaan Lingkaran
Persamaan bulat yang berpusat di P(a, b) dengan jari-jari r yaitu $$\mathrm{\mathbf{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}}$$
Bukti : Didiberikan sebuah bulat dengan sentra P(a, b) dan titik A(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran.
Jika titik A diproyeksikan ke garis y = b dengan titik proyeksi A', maka akan terbentuk segitiga PAA'. Segitiga PAA' siku-siku di A' dengan
PA' = x − a
AA' = y − b
PA = r
melaluiataubersamaini memakai teorema Phytagoras pada segitiga PAA' akan diperoleh persamaan
(PA')2 + (AA')2 = (PA)2
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Karena A(x, y) sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas akan memenuhi setiap titik pada lingkaran. Jadi, sanggup disimpulkan bahwa persamaan bulat yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari r yaitu $$\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$$
Jika titik A diproyeksikan ke garis y = b dengan titik proyeksi A', maka akan terbentuk segitiga PAA'. Segitiga PAA' siku-siku di A' dengan
PA' = x − a
AA' = y − b
PA = r
melaluiataubersamaini memakai teorema Phytagoras pada segitiga PAA' akan diperoleh persamaan
(PA')2 + (AA')2 = (PA)2
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Karena A(x, y) sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas akan memenuhi setiap titik pada lingkaran. Jadi, sanggup disimpulkan bahwa persamaan bulat yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari r yaitu $$\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$$
Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Lingkaran \(\mathrm{\mathbf{x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0}}\) memiliki sentra dan jari-jari $$\mathrm{\mathbf{P\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}}$$ $$\mathrm{\mathbf{r=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}}$$
Bukti :
Bentuk umum diatas diperoleh dengan menjabarkan bentuk baku persamaan lingkaran.
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by + b2 = r2
x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0 ...(1)
Misalkan :
A = −2a ...................................................(2)
B = −2b ...................................................(3)
C = a2 + b2 − r2 .......................................(4)
maka persamaan (1) sanggup ditulis menjadi $$\mathrm{\mathbf{x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0}}$$
Dari persamaan (2)
A = −2a
⇔ a = \(\mathrm{-\frac{A}{2}}\) .................................(5)
Dari persamaan (3)
B = −2b
⇔ b = \(\mathrm{-\frac{B}{2}}\) .................................(6)
Jadi, sentra lingkaran
P(a, b) ⇔ P\(\mathrm{\mathbf{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}}\)
Substitusi persamaan (5) dan (6) ke (4)
C = a2 + b2 − r2
C = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2} \right )^{2}}\) + \(\mathrm{\left ( -\frac{B}{2} \right )^{2}}\) − r2
r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\)
Jika kedua ruas ditarik tanda akar akan diperoleh
r = \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}}\)
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by + b2 = r2
x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0 ...(1)
Misalkan :
A = −2a ...................................................(2)
B = −2b ...................................................(3)
C = a2 + b2 − r2 .......................................(4)
maka persamaan (1) sanggup ditulis menjadi $$\mathrm{\mathbf{x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0}}$$
Dari persamaan (2)
A = −2a
⇔ a = \(\mathrm{-\frac{A}{2}}\) .................................(5)
Dari persamaan (3)
B = −2b
⇔ b = \(\mathrm{-\frac{B}{2}}\) .................................(6)
Jadi, sentra lingkaran
P(a, b) ⇔ P\(\mathrm{\mathbf{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}}\)
Substitusi persamaan (5) dan (6) ke (4)
C = a2 + b2 − r2
C = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2} \right )^{2}}\) + \(\mathrm{\left ( -\frac{B}{2} \right )^{2}}\) − r2
r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\)
Jika kedua ruas ditarik tanda akar akan diperoleh
r = \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}}\)
Emoticon