Jika f(x) diferensiabel di x = a dengan \(\mathrm{f '(a) = 0}\) maka f(a) yaitu nilai stasioner di x = a dan titik (a, f(a)) disebut titik stasioner dari f(x).
Perhatikan grafik fungsi diberikut !
Dari grafik diatas sanggup dilihat bahwa f(a) yaitu nilai stasioner di x = a dan f(b) yaitu nilai stasioner di x = b, dimana turunan pertama di titik-titik tersebut bernilai nol. Selanjutnya titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) disebut titik stasioner dari fungsi f.
misal 1
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{2}-4x}\)
Jawab :
f '(x) = 2x − 4
f(x) stasioner ⇒ f '(x) = 0
⇔ 2x − 4 = 0
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Jadi, nilai stasioner dicapai pada ketika x = 2
Nilai stasioner : f(2) = (2)2 − 4(2) = −4
Titik stasioner : (2, −4)
misal 2
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{3}-3x+1}\)
Jawab :
f '(x) = 3x2 − 3
⇔ 2x − 4 = 0
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Jadi, nilai stasioner dicapai pada ketika x = 2
Nilai stasioner : f(2) = (2)2 − 4(2) = −4
Titik stasioner : (2, −4)
misal 2
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{3}-3x+1}\)
Jawab :
f '(x) = 3x2 − 3
f(x) stasioner ⇒ f '(x) = 0
⇔ 3x2 − 3 = 0
⇔ x2 − 1 = 0
⇔ (x + 1)(x − 1 ) = 0
⇔ x = −1 atau x = 1
⇔ 3x2 − 3 = 0
⇔ x2 − 1 = 0
⇔ (x + 1)(x − 1 ) = 0
⇔ x = −1 atau x = 1
Nilai stasioner pada x = −1 :
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 1 = 3
Nilai stasioner pada x = 1 :
f(1) = (1)3 − 3(1) + 1 = −1
Titik stasioner : (−1, 3) dan (1, −1)
Nilai-nilai stasioner sering juga disebut sebagai bakal calon nilai ektrim. Ada 2 jenis ektrim fungsi, yaitu nilai balik maksimum dan nilai balik minimum. Nilai balik maksimum/minimum sering juga disebut dengan nilai maksimum/minimum relatif atau maksimum/minimum lokal.
Untuk memilih jenis ektrim suatu fungsi sanggup dilakukan dengan uji turunan pertama dan uji turunan kedua.
Dari persamaan (1)
Jawab :
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 1 = 3
Nilai stasioner pada x = 1 :
f(1) = (1)3 − 3(1) + 1 = −1
Titik stasioner : (−1, 3) dan (1, −1)
Nilai-nilai stasioner sering juga disebut sebagai bakal calon nilai ektrim. Ada 2 jenis ektrim fungsi, yaitu nilai balik maksimum dan nilai balik minimum. Nilai balik maksimum/minimum sering juga disebut dengan nilai maksimum/minimum relatif atau maksimum/minimum lokal.
Untuk memilih jenis ektrim suatu fungsi sanggup dilakukan dengan uji turunan pertama dan uji turunan kedua.
Uji Turunan Pertama
Misalkan f(a) yaitu nilai stasioner di x = a. 1. f(a) yaitu nilai balik maksimum, jikalau :
untuk x < a maka f '(x) > 0 (naik)
untuk x > a maka f '(x) < 0 (turun)
untuk x > a maka f '(x) < 0 (turun)
2. f(a) yaitu nilai balik minimum, jikalau :
untuk x < a maka f '(x) < 0 (turun)
untuk x > a maka f '(x) > 0 (naik)
untuk x > a maka f '(x) > 0 (naik)
misal 3
melaluiataubersamaini memakai uji turunan pertama, tentukan jenis ekstrim dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1}\)
Jawab :
f '(x) = 3x2 − 12x + 9
f '(x) = 0
⇔ 3x2 − 12x + 9 = 0
⇔ x2 − 4x + 3 = 0
⇔ (x − 1)(x − 3) = 0
⇔ x = 1 atau x = 3
Nilai stasioner di x = 1 adalah
f(1) = (1)3 − 6(1)2 + 9(1) + 1 = 5
Nilai stasioner di x = 3 adalah
f(3) = (3)3 − 6(3)2 + 9(3) + 1 = 1
Karena pada x = 1 terjadi perubahan dari naik menjadi turun, maka f(1) = 5 yaitu nilai balik maksimum.
Karena pada x = 3 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f(3) = 1 yaitu nilai balik minimum.
Sketsa grafik (update 18/5/17)
Uji Turunan Kedua
Misalkan f(a) yaitu nilai stasioner di x = a
- Jika f ''(a) < 0 maka f(a) yaitu nilai balik maksimum.
- Jika f ''(a) > 0 maka f(a) yaitu nilai balik minimum.
- Jika f ''(a) = 0 maka jenis ekstrim belum sanggup diputuskan (gunakan uji turunan pertama untuk memilih jenis ekstrimnya)
misal 4
melaluiataubersamaini memakai uji turunan kedua, tentukan jenis ekstrim dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1}\)
Jawab :
f '(x) = 3x2 − 12x + 9
f ''(x) = 6x − 12
f '(x) = 0
⇔ 3x2 − 12x + 9 = 0
⇔ x2 − 4x + 3 = 0
⇔ (x − 1)(x - 3) = 0
⇔ x = 1 atau x = 3
Nilai stasioner pada x = 1 :
f(1) = (1)3 − 6(1)2 + 9(1) + 1 = 5
Nilai stasioner pada x = 3
f(3) = (3)3 − 6(3)2 + 9(3) + 1 = 1
Uji turunan kedua
f ''(1) = 6(1) − 12 = −6 < 0
Karena f ''(1) < 0 maka f(1) = 5 yaitu nilai balik maksimum
f ''(3) = 6(3) − 12 = 6 > 0
Karena f ''(3) > 0 maka f(3) = 1 yaitu nilai balik minimum
misal 5
Tentukan jenis ekstrim dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{4}+1}\)
Jawab :
f '(x) = 4x3
f ''(x) = 12x2
f '(x) = 0
⇔ 4x3 = 0
⇔ x = 0
Nilai stasioner pada x = 0 :
f(0) = (0)4 + 1 = 1
Uji turunan kedua
f ''(0) = 12(0)2 = 0
Karena f ''(0) = 0 maka f(0) belum sanggup diputuskan
Uji turunan pertama
untuk x < 0 diperoleh f '(x) < 0 (turun)
untuk x > 0 diperoleh f '(x) > 0 (naik)
Karena pada x = 0 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f(0) = 1 yaitu nilai balik minimum.
Latihan Soal
Latihan 1
Diketahui fungsi \(\mathrm{y=ax^{3}+bx^{2}}\) dengan a dan b konstan. Jika nilai stasioner di \(\mathrm{x=1}\) yaitu −1, tentukan nilai a − b !
Jawab :
Substitusi titik stasioner (1, −1) ke fungsi y :
y = ax3 + bx2
⇔ −1 = a(1)3 + b(1)2
⇔ −1 = a + b .................(1)
f(x) = ax3 + bx2
f '(x) = 3ax2 + 2bx
Karena f stasioner di x = 1 maka :
f '(1) = 0
⇔ 3a(1)2 + 2b(1) = 0
⇔ 3a + 2b = 0 ................(2)
Eliminasi (1) dan (2)
a + b = −1 ×3
3a + 2b = 0 ×1
3a + 3b = −3
3a + 2b = 0 _
b = −3
Dari persamaan (1)
a + b = −1
a + (−3) = −1
a = 2
Jadi, a − b = 2 − (−3) = 5
Latihan 2
Grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=-x^{2}-2px+3}\) mencapai nilai balik maksimum untuk absis \(\mathrm{x=-1}\). Tentukan nilai p dan koordinat titik balik maksimum fungsi tersebut !
Jawab :
f(x) = −x2 − 2px + 3
f '(x) = −2x − 2p
Karena f mencapai nilai balik maksimum di \(\mathrm{x = -1}\) maka :
f '(−1) = 0
⇔ −2(−1) − 2p = 0
⇔ 2 − 2p = 0
⇔ p = 1
Untuk p = 1 maka
f(x) = −x2 − 2(1)x + 3
f(x) = −x2 − 2x + 3
Nilai balik maksimum :
f(−1) = −(−1)2 − 2(−1) + 3 = 4
Jadi, titik balik maksimum : (−1, 4)
Latihan 3
Fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx-5}\) memiliki koordinat titik balik minimum di \(\mathrm{(2,-9)}\). Hitunglah nilai \(\mathrm{a + b}\) !
Jawab :
Substitusi titik (2, −9) ke fungsi f(x)
−9 = a(2)2 + b(2) − 5
4a + 2b = −4 ......................(1)
4a + 2b = −4 ......................(1)
f '(x) = 2ax + b
Karena f mencapai nilai balik minimum di \(\mathrm{x=2}\), maka :
f '(2) = 0
2a(2) + b = 0
4a + b = 0 ..........................(2)
Eliminasi (1) dan (2) diperoleh
a = 1
b = −4
Jadi, a + b = 1 + (−4) = −3
This comment has been removed by the author.
ReplyDelete