Macam-Macam Transformasi (Refleksi Dan Dilatasi)

3. Transformasi Pencerminan (Refleksi)

Segitiga ABC pada gambar di samping dicerminkan terhadap garis tertentu menjadi segitiga A’B’C’. Pada pencerminan ini segitiga asal ABC akan berhadapan dengan segitiga bayangan A’B’C’.
Transformasi yang berciri demikian dinamakan pencerminan atau tranformasi.

Terdapat beberapa macam jenis pencerminan, tergantung pada posisi garis cerminnya, yaitu:

a. Pencerminan terhadap sumbu x

Misalkan P’(x’, y’) ialah bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap sumbu X, maka dirumuskan :
x’ = x
y’ = –y

Misalkan titik P(5, 2) dicerminkan terhadap sumbu X, maka bayangannya ialah P’(5, -2)


b. Pencerminan terhadap sumbu Y

Misalkan P’(x’, y’) ialah bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap sumbu Y, maka dirumuskan :
x’ = –x
y’ = y

 Misalkan titik P(-4, 3) dicerminkan terhadap sumbu Y, maka bayangannya ialah P’(4, 3)

c. Pencerminan terhadap garis x = a

Misalkan P’(x, y’) ialah bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis x = a maka dirumuskan :
x’ = 2a –x
y’ = y
Misalkan titik P(-3, 4) dicerminkan terhadap garis x = 2, maka bayangannya ialah P’(7, 4)

d. Pencerminan terhadap garis y = b

Misalkan P’(x’, y’) ialah bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = b, maka dirumuskan :
x’ = x
y’ = 2b – y
Misalkan titik P(3, 8) dicerminkan terhadap garis y = 3, maka bayangannya ialah P’(3, -2)


e. Pencerminan terhadap garis y = x

Misalkan P’(x’, y’) ialah bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = x, maka dirumuskan :
x’ = y
y’ = x

Misalkan titik P(4, 2) dicerminkan terhadap garis y = x, maka bayangannya ialah P’(2, 5)


f. Pencerminan terhadap garis y = –x

Misalkan P’(x’, y’) ialah bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = –x, maka dirumuskan :
x’ = –y
y’ = –x

 Misalkan titik P(-6, 3) dicerminkan terhadap garis y = x, maka bayangannya ialah P’(-3, 6)

g. Pencerminan terhadap garis y = x + a

Misalkan P’(x’, y’) ialah bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = x + a, maka dirumuskan :
x’ = y – a
y’ = x + a
Misalkan titik P(3, 1) dicerminkan terhadap y = x + 4, maka bayangannya ialah P’(-3, 7)

h. Pencerminan terhadap garis y = –x + a

Jika (x’, y’) ialah bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = –x + a, maka dirumuskan :
x’ = –y + a
y’ = –x + a
Misalkan titik P(6, 2) dicerminkan terhadap y = –x + 3, maka bayangannya ialah P’(1, -3)


i. Pencerminan terhadap titik asal

Misalkan P’(x’, y’) ialah bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap titik O(0, 0) maka dirumuskan :
x’ = –x
y’ = –y

Misalkan titik P(–5, 3) dicerminkan terhadap titik asal, maka bayangannya ialah P’(5, –3)


Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah pola soal diberikut ini

02. Tentukanlah bayangan titik A(4, 3) oleh pencerminan terhadap garis y = –1
Jawab
Misalkan A’(x’,y’) ialah bayangan titik A(4,3) oleh pencerminan terhadap garis y = –1
Maka :
x’ = x = 4
y’ = 2(–1) – y
    = –2 – 3
    = –5
Kaprikornus bayangannya ialah A’(4, –5)

03. Jika titik A(5, –3) dicerminkan terhadap garis x = a maka diperoleh bayangan titik A’(1, –3). Tentukanlah nilai a
Jawab
Misalkan A’(1, –3) ialah bayangan titik A(5, –3) oleh pencerminan terhadap garis x = a
Maka :
x’ = 2a – x
1 = 2a – 5
1 + 5 = 2a
2a = 6
Kaprikornus a = 3

04. Sebuah titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = –x sehingga diperoleh bayangan A’(–5, 3). Tentukan koordinat titik A
Jawab

4. Transformasi Perkalian (Dilatasi)

Sebuah garis AB ibarat pada gambar di samping didilatasi dengan sentra O(0, 0) dan skala 2 sehingga didapat bayangan garis A’B’. Pada dilatasi ini garis A’B’, panjangnya menjadi dua kali panjang garis AB.

Transformasi yang berciri demikian dinamakan perkalian atau dilatasi.
Sebuah titik P(x, y) didilatasi dengan sentra O(0, 0) dan skala k akan menghasilkan bayangan P’(x’, y’) dimana :
x’ = k.x
y’ = k.y

Sedangkan jikalau titik P(x, y) didilatasi dengan sentra A(m, n) dan skala k akan menghasilkan bayangan P’(x’, y’)
dimana :
x’ = k(x – m) + m
y’ = k(y – n) + n

Rumus di atas didapat dengan melaksanakan pergeseran titik sentra dari titik A(m, n) ke titik O(0, 0) dan kembali ke A(m, n)

Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah pola soal diberikut ini

01. Titik P(2, -5) diperbesar dengan skala -3 dan sentra A(1, 3) sehingga didapat bayangan P’. Tentukanlah koordinat P’
Jawab
Misalkan P’(x’, y’) ialah bayangan titik P(2, –5) oleh dilatasi dengan sentra A(1, 3) dan skala –3
dimana :
x’ = k(x – m) + m
x’ = –3(2 – 1) + 1
x’ = –2

 y’ = k(y – n) + n
y’ = –3(–5 – 3) + 3
y’ = 27
Kaprikornus titik bayangannya P’(–2, 27)

02. Sebuah titik P(2, –5) diperbesar dengan skala k dan sentra A(3, 2) sehingga didapat bayangan P’(–1, 26). Tentukanlah nilai k
Jawab