Integral Parsial

Pada bahan sebelumnya yaitu, integral substitusi sudah disebutkan bahwa jikalau suatu fungsi tidak sanggup diintegralkan dengan rumus-rumus dasar integral, maka solusinya yaitu dengan memakai metode substitusi.

Teknik atau metode integral parsial biasanya dipakai dikala suatu fungsi tidak sanggup diintegralkan dengan metode substitusi, walaupun bahwasanya metode ini juga sanggup menjadi alternatif jikalau fungsi tidak sanggup diintegralkan dengan rumus-rumus dasar integral.

Adapun fungsi-fungsi yang dimaksud yaitu fungsi-fungsi yang melibatkan perkalian dari fungsi logaritma, invers, polinom, eksponensial dan trigonometri. Untuk jenjang pendidikan SMAtika, biasanya spesialuntuk dibatasi pada perkalian fungsi polinom dan trigonometri.

Rumus integral parsial :
$$\mathrm{\int u\;dv=u\,v-\int v\:du}$$
Untuk memahami cara pengintegralan dengan metode parsial, simaklah contoh-contoh diberikut.

misal 1
∫ x sin x dx = ...

Penyelesaian :
Langkah awal yang harus dilakukan yaitu membagi integran menjadi 2 bagian, yaitu u dan sisanya termasuk dx sebagai dv. Untuk integran yang memuat perkalian fungsi polinom dan trigonometri, pilihlah fungsi polinom sebagai u dan fungsi trigonometri termasuk dx sebagai dv.

Jadi, pilih :
u = x
dv = sin x dx

Langkah selanjutnya yaitu memilih du dan v :

• du diperoleh dari turunan u terhadap x $$\mathrm{{\color{Red} u=x}\Rightarrow {\color{Red} du=dx}}$$
• v diperoleh dari integral dv 

$$\mathrm{{\color{Red} dv=sin\,x\:dx}\Rightarrow {\color{Red} v=-cos\,x}}$$

Substitusi ke rumus integral parsial :
$$\mathrm{\int u\;dv=u\,v-\int v\:du}$$
∫ x sin x dx = x (−cos x) − ∫ (−cos x) dx
∫ x sin x dx = −x cos x + ∫ cos x dx
∫ x sin x dx = −x cos x + sin x + C


misal 2
∫ x² cos 2x dx = ...

Penyelesaian :
Pilih :
u = x²  ⇒ du = 2x dx
dv = cos 2x dx  ⇒ v = \(\frac{1}{2}\)sin 2x

Substitusi ke rumus integral parsial :
$$\mathrm{\int u\;dv=u\,v-\int v\:du}$$
∫ x² cos 2x dx
= x² . \(\frac{1}{2}\)sin 2x − ∫ \(\frac{1}{2}\)sin 2x . 2x dx
= \(\frac{1}{2}\)x² sin 2x − ∫ x sin 2x dx  ...........(1)

Untuk ∫ x sin 2x dx, pilih :
u = x  ⇒ du = dx
dv = sin 2x dx  ⇒ v = \(-\frac{1}{2}\)cos 2x 

 ∫ x sin 2x dx
= x . \(-\frac{1}{2}\)cos 2x − ∫ \(-\frac{1}{2}\)cos 2x  dx
= \(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{2}\)∫ cos 2x dx
= \(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{2}\)sin 2x
= \(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{4}\)sin 2x  ..........(2)

melaluiataubersamaini mensubstitusi (2) ke (1) diperoleh :

∫ x² cos 2x dx
= \(\frac{1}{2}\)x² sin 2x − (\(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{4}\)sin 2x)
= \(\frac{1}{2}\)x² sin 2x + \(\frac{1}{2}\)x cos 2x − \(\frac{1}{4}\)sin 2x + C


Selain dengan memakai rumus integral parsial, bentuk integral diatas sanggup pula diselesaikan dengan cara diberikut ;

1. Turunkan u hingga menghasilkan nol dan integralkan dv.
2. Beri tanda (+) dan (−) secara berselang-seling (mulai dari positif) untuk setiap fungsi yang diturunkan.
3. Kalikan fungsi yang diturunkan dengan fungsi yang diintegralkan secara diagonal.

∫ x² cos 2x dx = ...

Misalkan :
u = x²
dv = cos 2x dx

∫ x² cos 2x dx
= +x² \(\frac{1}{2}\)sin 2x − 2x(\(-\frac{1}{4}\)cos 2x) + 2(\(-\frac{1}{8}\)sin 2x)
= \(\frac{1}{2}\)x² sin 2x + \(\frac{1}{2}\)x cos 2x − \(\frac{1}{4}\)sin 2x + C