Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri yaitu persamaan-persamaan yang memuat fungsi trigonometri dan selalu bernilai benar untuk setiap nilai variabel dimana kedua ruas persamaan tersebut terdefinisi.

Berikut identitas-identitas dasar trigonometri yang ialah contoh dalam memilih atau menandakan identitas-identitas trigonometri lainnya.

Identitas Kebalikan (Reciprocal Identity)

sin θ = \(\mathrm{\frac{1}{csc\,\theta}}\)
cos θ = \(\mathrm{\frac{1}{sec\,\theta}}\)
tan θ = \(\mathrm{\frac{1}{cot\,\theta}}\)

Identitas Rasio (Quotient Identity)

tan θ = \(\mathrm{\frac{sin\,\theta}{cos\,\theta}}\)
cot θ = \(\mathrm{\frac{cos\,\theta}{sin\,\theta}}\)

Identitas Pythagoras (Pythagorean Identity) 

sin²θ + cos²θ = 1
tan²θ + 1 = sec²θ
1 + cot²θ = csc²θ


Pembuktian identitas trigonometri dilakukan dengan cara mengubah bentuk persamaan pada ruas kiri tanpa mengubah nilainya, sehingga diperoleh bentuk yang persis sama dengan persamaan pada ruas kanan atau berlaku juga sebaliknya.

Mengubah bentuk suatu ruas sanggup dilakukan dengan cara :

1.  Substitusi identitas trigonometri : identitas kebalikan, rasio dan Phythagoras.
2. Manipulasi aljabar : menyederhanakan bentuk pecahan, mengalikan dengan bentuk sekawan, pemfaktoran dan lain-lain.

Berikut beberapa bentuk pemfaktoran yang sering dipakai :
a² − b² = (a + b)(a − b)
a⁴ − b⁴ = (a² + b²)(a² − b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + b² + ab)
a³ + b³ = (a + b)(a² + b² − ab)

misal 1
Buktikan : \(\mathrm{csc^{2}x\,sec\,x=sec\,x+cot\,x\,csc\,x}\)
Jawab :
csc²x sec x = (1 + cot²x) sec x
csc²x sec x = sec x + cot²x sec x
csc²x sec x = sec x + cot x . cot x . sec x
csc²x sec x = sec x + cot x \(\mathrm{\cdot \frac{co{\color{red}\not}s\,x}{sin\,x }\cdot \frac{1}{co{\color{red}\not}s\,x}}\)
csc²x sec x = sec x + cot x \(\mathrm{\cdot \frac{1}{sin\,x}}\)
csc²x sec x = sec x + cot x csc x

misal 2
Buktikan : sec⁴t − sec²t = tan⁴t + tan²t
Jawab :
sec⁴t − sec²t = (sec²t)² − sec²t
sec⁴t − sec²t = (1 + tan²t)² − (1 + tan²t)
sec⁴t − sec²t = 1 + 2tan²t + tan⁴t − 1 − tan²t
sec⁴t − sec²t = tan⁴t + tan²t

misal 3
Buktikan : sin⁴x − cos⁴x = 1 − 2cos²x
Jawab :
sin⁴x − cos⁴x = (sin²x + cos²x)(sin²x − cos²x)
sin⁴x − cos⁴x = 1 . (sin²x − cos²x)
sin⁴x − cos⁴x = sin²x − cos²x
sin⁴x − cos⁴x = 1 − cos²x − cos²x
sin⁴x − cos⁴x = 1 − 2cos²x

misal 4
Buktikan : \(\mathrm{(sec\,x-tan\,x)^{2}=\frac{1-sin\,x}{1+sin\,x}}\)
Jawab :
\(\begin{align}
\mathrm{(sec\,x-tan\,x)^{2}} & =\mathrm{\left ( \frac{1}{cos\,x}-\frac{sin\,x}{cos\,x} \right )^{2}} \\
& = \mathrm{\left ( \frac{1-sin\,x}{cos\,x} \right )^{2}} \\
& = \mathrm{\frac{(1-sin\,x)^{2}}{cos^{2}x}} \\
& = \mathrm{\frac{(1-sin\,x)^{2}}{1-sin^{2}x}} \\
& = \mathrm{\frac{(1-s{\color{red}\not}in\,x)(1-sin\,x)}{(1-s{\color{red}\not}in\,x)(1+sin\,x)}} \\
& = \mathrm{\frac{1-sin\,x}{1+sin\,x}}
\end{align}\)

misal 5
Buktikan : \(\mathrm{\frac{2-sec^{2}x}{sec^{2}x}=1-2sin^{2}x}\)
Jawab :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{2-sec^{2}x}{sec^{2}x}} & = \mathrm{\frac{2}{sec^{2}x}-\frac{sec^{2}x}{sec^{2}x}} \\
& = \mathrm{2\,cos^{2}x-1} \\
& = \mathrm{2(1-sin^{2}x)-1} \\
& = \mathrm{2-2\,sin^{2}x-1} \\
& = \mathrm{1-2\,sin^{2}x}
\end{align}\)

misal 6
Buktikan : \(\mathrm{\frac{1-cos\,x}{sin\,x}=\frac{1}{csc\,x+cot\,x}}\)
Jawab :
\(\begin{align} \mathrm{\frac{1-cos\,x}{sin\,x}} & = \mathrm{\frac{1}{sin\,x}-\frac{cos\,x}{sin\,x}} \\ & = \mathrm{csc\,x-cot\,x} \\ & = \mathrm{(csc\,x-cot\,x)\cdot \frac{csc\,x+cot\,x}{csc\,x+cot\,x}} \\ & = \mathrm{\frac{(csc\,x-cot\,x)(csc\,x+cot\,x)}{csc\,x+cot\,x}} \\ & = \mathrm{\frac{csc^{2}x-cot^{2}x}{csc\,x+cot\,x}} \\ & = \mathrm{\frac{1}{csc\,x+cot\,x}} \end{align}\)

misal 7
Buktikan : \(\mathrm{\frac{sin\,x}{1+cos\,x}+\frac{1+cos\,x}{sin\,x}=2csc\,x}\)
Jawab :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{sin\,x}{1+cos\,x}+\frac{1+cos\,x}{sin\,x}} & = \mathrm{\frac{1-cos\,x}{1-cos\,x}\cdot \frac{sin\,x}{1+cos\,x}+\frac{1+cos\,x}{sin\,x}} \\
& = \mathrm{\frac{(1-cos\,x)sin\,x}{1-cos^{2}x}+\frac{1+cos\,x}{sin\,x}} \\
& = \mathrm{\frac{(1-cos\,x)si{\color{red}\not}n\,x}{sin^{{\color{red}\not}2}x}+\frac{1+cos\,x}{sin\,x}} \\
& = \mathrm{\frac{1-cos\,x}{sin\,x}+\frac{1+cos\,x}{sin\,x}} \\
& = \mathrm{\frac{2}{sin\,x}} \\
& = \mathrm{2\,csc\,x}
\end{align}\)

misal 8
Buktikan : \(\mathrm{\frac{csc\,x-1}{cot\,x}=\frac{cot\,x}{csc\,x+1}}\)
Jawab :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{csc\,x-1}{cot\,x}} & = \mathrm{\frac{csc\,x-1}{cot\,x}\cdot  \frac{csc\,x+1}{csc\,x+1}} \\
& = \mathrm{\frac{csc^{2}x-1}{cot\,x\,(csc\,x+1)}} \\
& = \mathrm{\frac{cot^{{\color{red}\not}2}x}{c{\color{red}\not}ot\,x\,(csc\,x+1)}} \\
& = \mathrm{\frac{cot\,x}{csc\,x+1}}
\end{align}\)

misal 9
Buktikan : \(\mathrm{\frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{1-tan^{2}x}=cos^{2}x}\)
Jawab :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{1-tan^{2}x}} & = \mathrm{\frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{1-tan^{2}x}\cdot \frac{sec^{2}x}{sec^{2}x}} \\
& = \mathrm{\frac{cos^{2}x\cdot sec^{2}x-sin^{2}x\cdot sec^{2}x}{(1-tan^{2}x)\,sec^{2}x}} \\
& = \mathrm{\frac{cos^{2}x\cdot \frac{1}{cos^{2}x}-sin^{2}x\cdot \frac{1}{cos^{2}x}}{(1-tan^{2}x)\,sec^{2}x}} \\
& = \mathrm{\frac{1-{\color{red}\not}tan^{2}x}{(1-{\color{red}\not}tan^{2}x)\,sec^{2}x}} \\
& = \mathrm{\frac{1}{sec^{2}x}} \\
& = \mathrm{cos^{2}x}
\end{align}\)

misal 10
Buktikan : \(\mathrm{\frac{cos^{2}x+2cos\,x+1}{cos\,x+1}=\frac{1+sec\,x}{sec\,x}}\)
Jawab :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{cos^{2}x+2cos\,x+1}{cos\,x+1}} & = \mathrm{\frac{(cos\,x+1)^{{\color{red}\not}2}}{(cos{\color{red}\not}\,x+1)}} \\
& = \mathrm{cos\,x+1} \\
& = \mathrm{(cos\,x+1)\cdot  \frac{sec\,x}{sec\,x}} \\
& = \mathrm{\frac{cos\,x\,sec\,x+sec\,x}{sec\,x}} \\
& = \mathrm{\frac{cos\,x\cdot \frac{1}{cos\,x}+sec\,x}{sec\,x}} \\
& = \mathrm{\frac{1+sec\,x}{sec\,x}}
\end{align}\)

misal 11
Buktikan : \(\mathrm{\sqrt{ \frac{1+cos\,x}{1-cos\,x}}=csc\,x+cot\,x}\)
Jawab :
\(\begin{align}
\mathrm{\sqrt{ \frac{1+cos\,x}{1-cos\,x}}} & =\mathrm{\sqrt{ \frac{1+cos\,x}{1-cos\,x}\cdot  \frac{1+cos\,x}{1+cos\,x}}} \\
& = \mathrm{\sqrt{ \frac{(1+cos\,x)^{2}}{1-cos^{2}x}}} \\
& = \mathrm{\sqrt{ \frac{(1+cos\,x)^{2}}{sin^{2}x}}} \\
& = \mathrm{\frac{1+cos\,x}{sin\,x}} \\
& = \mathrm{\frac{1}{sin\,x}+\frac{cos\,x}{sin\,x}} \\
& = \mathrm{csc\,x+cot\,x}
\end{align}\)

misal 12
Buktikan : \(\mathrm{\frac{sin^{3}x+cos^{3}x}{sin\,x+cos\,x}=1-sin\,x\,cos\,x}\)
Jawab :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{sin^{3}x+cos^{3}x}{sin\,x+cos\,x}} & = \mathrm{\frac{(sin\,x{\color{red}\not}+cos\,x)(sin^{2}x+cos^{2}x-sin\,x\,cos\,x)}{(sin\,x{\color{red}\not}+cos\,x)}} \\
& = \mathrm{sin^{2}x+cos^{2}x-sin\,x\,cos\,x} \\
& = \mathrm{1-sin\,x\,cos\,x} \\
\end{align}\)


Perlu diketahui bahwa pembuktian identitas trigonometri sanggup dilakukan dengan cara yang tidak sama-beda, tergantung taktik yang digunakan.

Semakin banyak pembuktian yang dilakukan, kita akan menemukan taktik terbaik dalam memilih konsep apa yang digunakan dan konsep mana yang dilampaukan, sehingga pembukitan menjadi lebih efisien.

Latihan Soal Identitas Trigonometri

Latihan 1
Buktikan setiap identitas diberikut!
a.  tan x + cot x = sec x csc x
b.  sec x − tan x sin x = cos x
c.  cos x(csc x + tan x) = cot x + sin x

Latihan 2
Buktikan setiap identitas diberikut!
a.  \(\mathrm{\frac{1-sin\,x}{cos\,x}=sec\,x-tan\,x}\)
b.  \(\mathrm{\frac{sec\,x-1}{sec\,x}=1-cos\,x}\)
c.  \(\mathrm{\frac{sin\,x-sec\,x}{tan\,x}=cos\,x-csc\,x}\)

Latihan 3
Buktikan setiap identitas diberikut!
a.  \(\mathrm{sin^{4}x-cos^{4}x=sin^{2}x-cos^{2}x}\)
b.  \(\mathrm{sec^{4}x-tan^{4}x=sec^{2}x+tan^{2}x}\)
c.  \(\mathrm{csc^{4}x-cot^{4}x=csc^{2}x+cot^{2}x}\)

Latihan 4
Buktikan setiap identitas diberikut!
a.  \(\mathrm{cos^{2}x-sin^{2}x=2cos^{2}x-1}\)
b.  \(\mathrm{cos^{2}x-sin^{2}x=1-2sin^{2}x}\)
c.  \(\mathrm{1-tan^{2}x=2-sec^{2}x}\)
d.  \(\mathrm{cot^{2}x-1=csc^{2}x-2}\)

Latihan 5
Buktikan setiap identitas diberikut!
a.  \(\mathrm{\frac{sin^{2}x-cos^{2}x}{sin\,x+cos\,x}=sin\,x-cos\,x}\)
b.  \(\mathrm{\frac{1-tan^{2}x}{1+tan\,x}=1-tan\,x}\)
c.  \(\mathrm{\frac{cos^{4}x-sin^{4}x}{cos\,x+sin\,x}=cos\,x-sin\,x}\)

Latihan 6
Buktikan setiap identitas diberikut!
a.  \(\mathrm{\frac{cos\,x}{1-sin\,x}=\frac{1+sin\,x}{cos\,x}}\)
b.  \(\mathrm{\frac{cos\,x}{1-sin\,x}=\frac{1}{sec\,x-tan\,x}}\)
c.  \(\mathrm{\frac{1+sin\,x}{cos\,x}=\frac{1}{sec\,x-tan\,x}}\)

Latihan 7
Buktikan setiap identitas diberikut!
a.  tan²x sin²x = tan²x − sin²x
b.  sec²x + cot²x = tan²x + csc²x
c.  cos⁴x − sin⁴θ + 1 = 2cos²θ
d.  cos⁴x − cos²x = sin⁴x − sin²x
e.  \(\mathrm{\frac{sec^{2}x-tan^{2}x}{csc\,x}=sin\,x}\)
f.  \(\mathrm{\frac{1+tan^{2}x}{1+cot^{2}x}=tan^{2}x}\)
g.  \(\mathrm{\frac{cos^{2}x-1}{cos\,x}=-tan\,x\,sin\,x}\)
h.  \(\mathrm{\frac{cos^{4}x-sin^{4}x}{sin^{2}x}=cot^{2}x-1}\)
i.  \(\mathrm{\frac{1-tan^{2}x}{1+tan^{2}x}=2cos^{2}x-1}\)
j.  \(\mathrm{1-\frac{sin^{2}x}{1+cos\,x}=cos\,x}\)
k.  \(\mathrm{\frac{cos\,x}{1-sin\,x}=tan\,x+sec\,x}\)
l.  \(\mathrm{\frac{1+tan\,x}{1+cot\,x}=tan\,x}\)
m.  \(\mathrm{\frac{1}{tan\,x}+tan\,x=sec\,x\,csc\,x}\)
n.  \(\mathrm{\frac{csc\,x-1}{1-sin\,x}=csc\,x}\)
o.  \(\mathrm{\frac{csc\,x}{cot\,x+tan\,x}=cos\,x}\)
p.  \(\mathrm{\frac{sec\,t\;sin\,t}{tan\,t+cot\,t}=sin^{2}t}\)
q.  \(\mathrm{\frac{1+cos\,x}{sin\,x}=\frac{sin\,x}{1-cos\,x}}\)
r.  \(\mathrm{\frac{sin\,x-cos\,x}{sin\,x}+\frac{cos\,x-sin\,x}{cos\,x}=2-sec\,x\,csc\,x}\)
s.  \(\mathrm{\frac{cos\,x}{1-sin\,x}+\frac{1-sin\,x}{cos\,x}=2sec\,x}\)
t.  \(\mathrm{\frac{1}{csc\,x-cot\,x}-csc\,x=csc\,x-\frac{1}{csc\,x+cot\,x}}\)
u.  \(\mathrm{\frac{cos\,x}{1-tan\,x}+\frac{sin\,x}{1-cot\,x}=sin\,x+cos\,x}\)
v.  \(\mathrm{\left ( csc\,x-cot\,x \right )^{2}=\frac{sec\,x-1}{sec\,x+1}}\)
w.  \(\mathrm{\frac{cos\,x\,cot\,x}{1-sin\,x}-1=csc\,x}\)
x.  \(\mathrm{\frac{sin^{6}x+cos^{6}x}{1-sin^{2}x}=sec^{2}x-3sin^{2}x}\)
y.  \(\mathrm{\frac{tan\,x+sec\,x-1}{tan\,x-sec\,x+1}=tan\,x+sec\,x}\)
z.  \(\mathrm{\sqrt{ \frac{csc\,x-1}{csc\,x+1}}=\frac{cos\,x}{sin\,x+1}}\)