Soal Sbmptn Dan Pembahasan Persamaan Kuadrat

1. Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan kuadrat x² - x - p = 0 sama dengan kuadrat jumlah kebalikan akar-akar persamaan x² - px - 1 = 0, maka nilai p sama dengan .....

   A. √2 + 1

   B. √2 - 1

   C. √2 + 1 atau -√2 + 1

   D. √3 - 1 atau √3 + 1

   E. 2 - √2 atau 2 + √2

   
   
   Pembahasan :
   Jika ada dua persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling bekerjasama dengan contoh hubungan tertentu, maka yang harus kita lakukan yaitu mencari nilai jumlah akar dan hasil kali akar masing-masing persamaan kuadrat dan selanjutnya memanfaatkan nilai atau persamaan yang kita peroleh untuk memilih nilai variabel yang ditanya.
   
   melaluiataubersamaini demikian, diberikut beberapa langkah yang sanggup kita lakukan :
   

   • Tentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat pertama
   • Tentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat kedua
   • Tulis hubungan aka-akar kedua persamaan dalam bentuk matematika dan substitusi nilai atau persamaan yang kita peroleh dari langkah 1 dan 2.
   • Tentukan nilai p menurut persamaan yang dipeoleh pada langkah 3.

Langkah Pertama 
Dari x² - x - p = 0
Dik : a = 1, b = -1, c = -p

Jumlah akar :
⇒ u + v = ^-b⁄_a
⇒ u + v = ¹⁄₁
⇒ u + v = 1

Hasil kali akar :
⇒ u.v = ^c⁄_a
⇒ u.v = ^-p⁄₁
⇒ u.v = -p

Langkah Kedua
Dari x² - px - 1 = 0
Dik : a = 1, b = -p, c = -1

Jumlah akar :
⇒ m + n = ^-b⁄_a
⇒ m + n = ^p⁄₁
⇒ m + n = p

Hasil kali akar :
⇒ m.n = ^c⁄_a
⇒ m.n = ^-1⁄₁
⇒ m.n = -1

Langkah Ketiga
Untuk menulis hubungan akar dalam bentuk matematika maka kita harus teliti dalam mengartikan kalimat. Kata "kuadrat jumlah kebalikan" harus kita tulis dari belakang yaitu kebalikan akar (seper akar) dijumlahkan kemudian dikuadratkan. Sedangkan kata "jumlah kuadrat" artinya dikuadratkan dulu gres dijumlahkan. Untuk teori akar-akar persamaan kuadrat, engkau sanggup baca artikel Jumlah dan hasil kali akar.

Sehingga, hubungan akar-akar persamaan kuadrat pertama dan kedua dalam bentuk matematika sanggup ditulis menjadi :
⇒ u² + v² = (¹⁄_m + ¹⁄_n)²

⇒ (u + v)2 - 2u.v =	(m + n)2
	(m.n)2

⇒ (1)2 - 2(-p) =	(p)2
	(-1)2

⇒ 1 + 2p = p²
⇒ p² - 2p - 1 = 0
Dik a = 1, b = -2, c = -1

Langkah Keempat 
Nilai p sanggup ditentukan dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat yang kita peroleh di langkah ketiga. Untuk mencari akar-akar tersebut, kita sanggup memakai Rumus Kuadrat abc sebagai diberikut :

⇒ p1,2 =	-b ± √b2 - 4a.c
	2a

⇒ p1,2 =	-(-2) ± √(-2)2 - 4(1)(-1)
	2(1)

⇒ p1,2 =	2 ± √4 + 4
	2

⇒ p1,2 =	2 ± √8
	2

⇒ p1,2 =	2 ± 2√2
	2

⇒ p_1,2 = 1 ± √2

Karena akar-akarnya persamaan x² - x - p = 0 real, maka ada syarat yang harus dipenuhi yaitu :
⇒ D > 0

⇒ b² - 4ac > 0

⇒ (-1)² - 4(1)(-p) > 0

⇒ 1 + 4p > 0

⇒ p > -¼

melaluiataubersamaini demikian nilai p yang memenuhi yaitu 1 + √2 sebab nilainya aktual dan lebih besar dari -¼. Sedangkan 1 - √2 tidak memenuhi sebab bernilai lebih kecil dari -¼.

Jawaban : A

2. Jumlah akar-akar persamaan |x|² - 2|x| - 3 = 0 sama dengan ....

   A. -10	D. 0
   B. -3	E. 4
   C. -1

   
   Pembahasan :
   Prinsip pengerjaan soal di atas sama dengan persamaan kuadrat biasa spesialuntuk saja sebab variabel x dalam bentuk mutlak |x| yang berarti ada dua nilai x yaitu x < 0 (-x) dan x ≥ 0 (x), maka ada dua persamaan yang tidak sama.

Untuk x < 0
Substitusikan |x| = -x
⇒ |x|² - 2|x| - 3 = 0
⇒ (-x)² - 2(-x) - 3 = 0
⇒ x² + 2x - 3 = 0
⇒ (x + 3)(x - 1) = 0
⇒ x₁ = -3 atau x₂ = 1

Untuk x > 0
Substitusikan |x| = x
⇒ |x|² - 2|x| - 3 = 0
⇒ (x)² - 2(x) - 3 = 0
⇒ x² - 2x - 3 = 0
⇒ (x - 3)(x + 1) = 0
⇒ x₃ = 3 atau x₄ = -1

melaluiataubersamaini demikian, jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut yaitu :
⇒ Jumlah akar = x₁ + x₂ + x₃ + x₄
⇒ Jumlah akar = -3 + 1 + 3 + (-1)
⇒ Jumlah akar = 0

melaluiataubersamaini memakai prinsip jumlah akar-akar persamaan kuadrat, akan kita peroleh hasil yang sama :
Untuk  x² + 2x - 3 = 0 dik a = 1, b = 2, c = -3
⇒ x₁ + x₂ = ^-b⁄_a
⇒ x₁ + x₂ = ^-2⁄₁
⇒ x₁ + x₂ = -2

Untuk  x² - 2x - 3 = 0 dik a = 1, b = -2, c = -3
⇒ x₃ + x₄ = ^-b⁄_a
⇒ x₃ + x₄ = ²⁄₁
⇒ x₃ + x₄ = 2

melaluiataubersamaini demikian jumlah akar-akarnya :
⇒ Jumlah akar = x₁ + x₂ + x₃ + x₄
⇒ Jumlah akar = -2 + 2 = 0

Jawaban : D