Pengertian Pertidaksamaan

Notasi pertidaksamaan mencakup :
“ < ” notasi kurang dari
“ > ” notasi lebih dari
“ ≤ ” notasi kurang dari atau sama dengan
“ ≥ ” notasi lebih dari atau sama dengan

Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan satu variabel berupa interval atau selang yang sanggup digambarkan dalam suatu garis bilangan
Sedangkan pertidaksamaan linier satu variabel yaitu pertidaksamaan yang memuat satu variabel dengan pangkat tertinggi satu.

Terdapat empat istilah dalam interval, yaitu interval terbuka, interval tertutup, interval berhingga dan interval tak hingga.
Untuk lebih jelasnya ikutilah gambar diberikut ini untuk variabel x :

Bentuk lain dari notasi pertidaksamaan yaitu tanda tidak sama dengan (ditulis ≠ ) Namun dalam pembahasan penggalan ini, notasi tersebut tidak diuraikan secara mendalam
Sebuah notasi pertidaksamaan sanggup berubah sebab adanya operasi tertentu. Perubahan tersebut sanggup dijelaskan dalam sifat-sifat pertidaksamaan diberikut ini :

Sifat-sifat pertidaksamaan :
(1) Tanda/notasi suatu pertidaksamaan tidak berubah kalau penambahan atau pengurangan suatu bilangan (variabel) yang sama dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan

misal : 3 < 6
3 + 4 < 6 + 4 (kedua ruas dimenambahkan 4)
      7 < 10

(2) Tanda/notasi suatu pertidaksamaan tidak berubah kalau perkalian atau derma suatu bilangan (variabel) positip yang sama dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan

misal : 3 < 6
3 x 2 < 6 x 2 (kedua ruas dikalikan 2)
      6 < 12

(3) Tanda/notasi suatu pertidaksamaan akan berubah kalau perkalian atau derma suatu bilangan (variabel) negatip yang sama dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan

misal : 3 < 6
3 x (–5) < 6 x (–5) (kedua ruas dikalikan –5)
       –15 > –30
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam teladan soal diberikut:
01. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan diberikut ini :
(a) 3x – 6 < 12        (b) 5x + 3 ≥ 3x – 7

Jawab
(a) 3x – 6 < 12
           3x < 12 + 6
           3x < 18
             x < 6
(b) 5x + 3 ≥ 3x – 7
    5x – 3x ≥ –7 – 3
            2x ≥ –10
              x ≥ –5
02. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan diberikut ini :
(a) 4x – 6 < 9x – 21              (b) 3x – 5 ≥ 7x + 11

Jawab
(a) 4x – 6 < 9x – 21              (b) 3x – 5 ≥ 7x + 11
   4x – 9x < 6 – 21                    3x – 7x ≥ 5 + 11
         –5x < –15                              –4x ≥ 16
             x > 3                                      x ≤ –4

03. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan diberikut ini :
(a) –8 < 3x + 4 < 22             (b) –3  9 – 4x  29

Jawab
(a) –8 < 3x + 4 < 22
–8 – 4 < 3x + 4 – 4 < 22 – 4
       –12 < 3x < 18
           –4 < x < 6

(b) –3 ≤ 9 – 4x ≤ 29
–3 – 9 ≤ 9 – 4x – 9 ≤ 29 – 9
  –12  ≤  –4x ≤ 20
       3 ≥ x ≥ –5
      –5 ≤ x ≤ 3

Bentuk Umum pertidaksamaan kuadrat :
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≤ 0
ax² + bx + c ≥ 0

Penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut berupa interval berhingga atau interval tak sampai dengan hukum sebagai diberikut :

Jika p dan q yaitu akar-akar dari persamaan ax² + bx + c = 0, maka p dan q ialah batas-batas interval penyelesaian pertidaksamaan kuadrat tersebut.

Jika D = b² – 4ac ialah diskriminannya, maka penyelesaian pertidaksamaan kuadrat sanggup dijelaskan sebagai diberikut :

Untuk diskriminan faktual (D > 0), maka akan terdapat dua titik batas interval, yakni p dan q sehingga penyelesaian pertidaksamaan kuadrat sanggup dimenolong dengan skema grafik fungsi kuadrat diberikut

ax² + bx + c < 0 penyelesaiannya p < x < q

ax² + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ q

ax² + bx + c > 0 penyelesaiannya x < p atau x > q

ax² + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ q 

ax² + bx + c < 0 penyelesaiannya x < p atau x > q

ax² + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ q

ax² + bx + c > 0 penyelesaiannya p < x < q

ax² + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ q

Untuk diskriminan nol (D = 0), maka akan terdapat satu titik batas interval, misalkan p (p = q) sehingga penyelesaian pertidaksamaan kuadrat sanggup dimenolong dengan skema grafik fungsi kuadrat diberikut

ax² + bx + c < 0 penyelesaiannya p < x < p

atau tidak ada nilai x yang memenuhi

ax² + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ p

atau x = p

ax² + bx + c > 0 penyelesaiannya x < p atau x > p

atau x memenuhi tiruana bilangan real kecuali p

ax² + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ p

atau x memenuhi tiruana bilangan real

ax² + bx + c < 0 penyelesaiannya x < p atau x > p
atau x memenuhi tiruana bilangan real kecuali p
ax² + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya x ≤ p atau x ≥ p
atau x memenuhi tiruana bilangan real
ax² + bx + c > 0 penyelesaiannya p < x < p
atau tidak ada nilai x yang memenuhi
ax² + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya p ≤ x ≤ p
atau x = p


Untuk diskriminan negatif (D < 0), maka tidak terdapat titik batas interval, sehingga penyelesaian pertidaksamaan kuadrat sanggup dimenolong dengan skema grafik fungsi kuadrat diberikut

ax² + bx + c < 0 penyelesaiannya tidak ada nilai x yang memenuhi
ax² + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya tidak ada nilai x yang memenuhi
ax² + bx + c > 0 penyelesaiannya memenuhi tiruana bilangan real x
ax² + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya memenuhi tiruana bilangan real x

ax² + bx + c < 0 penyelesaiannya memenuhi tiruana bilangan real x
ax² + bx + c ≤ 0 penyelesaiannya memenuhi tiruana bilangan real x
ax² + bx + c > 0 penyelesaiannya tidak ada nilai x yang memenuhi
ax² + bx + c ≥ 0 penyelesaiannya tidak ada nilai x yang memenuhi




Adapun Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan yaitu sebagai diberikut :
(1) Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi 0
(2) Tentukan batas-batas intervalnya, yaitu akar-akar persamaan kuadratnya
(3) Nyatakan dalam garis bilangan atau gambar grafiknya
(4) Tentukan interval penyelesaiannya

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam teladan soal diberikut:
01. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan diberikut ini :
(a) x² – x – 12 < 0                                  (b) x² – 9 ≥ 0
(c) –3x² + 9x + 30 > 0                           (d) 10x – x² ≤ 24

Jawab

(a) x² – x – 12 < 0
     (x + 3)(x – 4) < 0
       x = –3 dan x = 4
     –3 < x < 4

(b) x² – 9 ≥ 0
    (x + 3)(x – 3) ≥ 0
     x = –3 dan x = 3
     x ≤ –3 atau x ≥ 3

(c) –3x² + 9x + 30 > 0
         x² – 3x – 10 < 0
      (x + 2)(x – 5) < 0
        x = –2 dan x = 5
             –2 < x < 5

(d) x² – x – 12 < 0
     (x + 3)(x – 4) < 0
     x1 = –3 dan x2 = 4
          –3 < x < 4

02. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan diberikut ini :
(a) x² – 2x + 8 > 0                        (b) 15x – x² – 18 ≥ x² + 3x

Jawab
(a) x² – 2x + 8 > 0
      D = (–2)2 – 4(1)(8)
      D = –28 < 0
      Tidak ada batas interval
      Makara x memenuhi tiruana bilangan real

(b) 15x – x² – 18 ≥ x² + 3x
      15x – x2 – 18 – x² – 3x ≥ 0
           –2x² – 12x – 18 ≥ 0
               x² + 6x + 9 ≤ 0
            (x + 3)(x + 3) ≤ 0
                      x = –3
                  –3 ≤ x ≤ –3
                 Atau nilai yang memenuhi spesialuntuk untuk x = –3

03. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan diberikut ini :
(a) x² – 8x + 16 > 0                           (b) x² + 10x + 25 < 0

Jawab
(a) x² – 8x + 16 > 0
     (x – 4)(x – 4) > 0
          x = 4
          x < 4 atau x > 4
          Atau nilai x memenuhi untuk tiruana bilangan real kecuali 4

(b) x² + 10x + 25 < 0
     (x + 5)(x + 5) > 0
           x = –5
        –5 < x < –5
        Atau tidak ada nilai x yang memenuhi

4. Sebuah perusahaan sepatu memproduksi dan menjual banyak sekali model sepatu. Untuk satu model sepatu tertentu diperkirakan dijual seharga a rupiah. Jika dalam satu ahad dikeluarkan biaya sebesar M rupiah dan pendapatan yang diterima P rupiah serta dirumuskan M = 2.000.000 – 40.000a dan P = 20.000a – 400a² maka berapakah batas harga sepatu persatuan harus dijual supaya perusahaan memperoleh laba ?

Jawab
Agar menerima laba maka :
P > M
20000a – 400a² > 2000000 – 40000a
20000a – 400a² – 2000000 + 40000a > 0
–400a² + 60000a – 2000000 > 0
a² – 150a + 5000 < 0
(a – 100)(a – 50) < 0
Batas interval a1 = 100 dan a² = 50
Makara interval harga sepatu yaitu : 50 < a < 100