Menentukan Akar Dengan Melengkapi Kuadrat Sempurna

Selain metode pemfaktoran, salah satu cara yang sanggup kita gunakan untuk memilih akar-akar suatu persamaan kuadrat ialah dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna. Bilangan kuadrat tepat ialah bilangan yang kalau diakarkan akan menghasilkan bilangan asli. (x + 2)², (2x − 5)², dan (3x)² ialah teladan bentuk kuadrat sempurna. Secara umum, bentuk tersebut sanggup ditulis menjadi (a + b)². Prinsip penerapan metode ini ialah memanipulasi secara aljabar persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Manipulasi sanggup dilakukan dengan cara menambah atau mengurangi bab suku tetapan dalam persamaan kuadrat.

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Berikut langkah-langkah untuk menuntaskan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat tepat :

1. Ubah persamaan kuadrat ke dalam bentuk kuadrat sempurna
   Melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna, kita sanggup memanipulasi persamaan kuadrat menjadi bentuk diberikut ini :
   
   

   (x + p)2 = q, dengan q ≥ 0

   
   Adapun cara memanipulasi persamaan kuadrat menjadi bentuk di atas, kita sanggup memakai rumus diberikut :
   
   

   x2 + (b⁄a)x + (b⁄2a)2 = (b⁄2a)2 − c⁄a

   
   
   
   
2. Tentukan akar-akar persamaan terakhir
   Sesudah bentuk (x + p)² = q diperpleh, maka tentukanlah akar-akarnya. Adapun akar dari persamaan tersebut ialah :
   
   

   (x + p) = ±√q, atau x = -p ±√q

   
   

misal Soal :
melaluiataubersamaini melengkapkan kuadrat sempurna, tentukanlah akar-akar dari persamaan diberikut ini :

1. x² − 2x − 2 = 0
2. x² − 6x − 7 = 0
3. x² − 8x + 7 = 0 
4. 2x² − 12x − 32 = 0
5. 2x² − 5x + 3 = 0

Pembahasan :

1. x² − 2x − 2 = 0
   Dik : a = 1, b = -2, c = -2
   
   Ubah menjadi :
   ⇒ x² + (^b⁄_a)x + (^b⁄_2a)² = (^b⁄_2a)² − ^c⁄_a
   ⇒ x² − 2x + (^-2⁄₂)² = (^-2⁄₂)² + 2
   ⇒ x² − 2x + 1 = 1 + 2
   ⇒ x² − 2x + 1 = 3
   ⇒ (x − 1)² = 3
   ⇒ x − 1 = ±√3
   ⇒ x = 1 + √3 atau  x = 1 − √3
   
   
2. x² − 6x − 7 = 0
   Dik : a = 1, b = -6, c = -7
   
   Ubah menjadi :
   ⇒ x² + (^b⁄_a)x + (^b⁄_2a)² = (^b⁄_2a)² − ^c⁄_a
   ⇒ x² − 6x + (^-6⁄₂)² = (^-6⁄₂)² + 7
   ⇒ x² − 6x + 9 = 9 + 7
   ⇒ x² − 6x + 9 = 16
   ⇒ (x − 3)² = 16
   ⇒ x − 3 = ±√16

   ⇒ x = 3 + 4 = 7 atau  x = 3 − 4 = -1.
   
   
3. x² − 8x + 7 = 0 
   Dik : a = 1, b = -8, c = 7
   
   Ubah menjadi :
   ⇒ x² + (^b⁄_a)x + (^b⁄_2a)² = (^b⁄_2a)² − ^c⁄_a
   ⇒ x² − 8x + (^-8⁄₂)² = (^-8⁄₂)² − 7
   ⇒ x² − 8x + 16 = 16 − 7
   ⇒ x² − 8x + 16 = 9
   ⇒ (x − 4)² = 9
   ⇒ x − 4 = ±√9

   ⇒ x = 4 + 3 = 7 atau  x = 4 − 3 = 1.
   
   
4. 2x² − 12x − 32 = 0
   Dik : a = 2, b = -12, c = -32
   
   Ubah menjadi :
   ⇒ x² + (^b⁄_a)x + (^b⁄_2a)² = (^b⁄_2a)² − ^c⁄_a
   ⇒ x² + (^-12⁄₂)x + (^-12⁄₄)² = (^-12⁄₄)² − (^-32⁄₂)
   ⇒ x² − 6x + 9 =  9 + 16
   ⇒ x² − 6x + 9 = 25
   ⇒ (x −  3)² = 25
   ⇒ x − 3 = ±√25

   ⇒ x = 3 + 5 = 8 atau  x = 3 − 5 = -2.
   
   
5. 2x² − 5x + 3 = 0
   Dik : a = 2, b = -5, c = 3
   
   Ubah menjadi :
   ⇒ x² + (^b⁄_a)x + (^b⁄_2a)² = (^b⁄_2a)² − ^c⁄_a
   ⇒ x² + (^-5⁄₂)x + (^-5⁄₄)² = (^-5⁄₄)² − (³⁄₂)
   ⇒ x² − ⁵⁄₂x + ²⁵⁄₁₆ =  ²⁵⁄₁₆ − ³⁄₂
   ⇒ x² − ⁵⁄₂x + ²⁵⁄₁₆ =  ¹⁄₁₆
   ⇒ (x − ⁵⁄₄)² = ¹⁄₁₆
   ⇒ x − ⁵⁄₄ = ±¼

   ⇒ x = ⁵⁄₄ + ¼ = ⁶⁄₄ atau  x = ⁵⁄₄ − ¼ = 1.