Bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, sanggup diselesaikan dengan cara mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai x yang memenuhi persamaan yaitu nilai x yang kalau disubstitusi ke persamaan akan menghasilkan nilai sama dengan nol. Nilai x yang memenuhi suatu persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat. Untuk memilih akar-akar persamaan kuadrat ada tiga metode yang umum digunakan, yaitu metode pemfaktoran, metode melengkapi kuadrat sempurna, dan memakai rumus kuadrat atau yang lebih dikenal sebagai rumus abc. Pada peluang ini kita akan mengulas cara memilih akar-akar persamaan kuadart dengan metode pemfaktoran .
Metode Pemfaktoran
Untuk memilih akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan metode pemfaktoran, maka persamaan kuadratnya difaktorkan terlebih lampau. Bentuk pemfaktoran yang umum yaitu sebagai diberikut :
Pemfaktoran
Keterangan
(ax + p)(ax + q)
=
0
a
p + q = b p x q = ac
Perlu diingat bahwa p dan q pada rumus di atas bukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat melainkan dua angka yang kalau dijumlahkan balasannya sama dengan b dan kalau dikalikan balasannya sama dengan ac. Jika koefisien a bernilai 1, maka bentuk persamaan di atas sanggup disederhanakan menjadi :
Pemfaktoran
Keterangan
(x + p)(x + q) = 0
p + q = b p x q = c
Untuk terbiasa memakai metode ini, maka kita harus serius pada koefisien a, b, dan c dalam persamaan tersebut. Fikirkan dua angka yang kalau dijumlahkan balasannya b kalau dikalikan balasannya ac. Meskipun tidak tiruana bentuk persamaan kuadrat sanggup diselesaikan dengan metode ini, tapi metode ini cukup memmenolong sebab lebih ringkas daripada memakai rumus abc. Tentu saja itu tergantung pada seberapa cepat kita bisa memilih nilai p dan q pada rumus tersebut.
misal Soal : melaluiataubersamaini cara memfaktorkan, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan kuadrat diberikut ini :
a. x2 − 5x + 6 = 0
f. 4x2 − 12x + 9 = 0
b. x2 + 7x + 12 = 0
g. 2x2 − x − 1 = 0
c. x2 − 5x − 6 = 0
h. 3x2 + x − 2 = 0
d. x2 + 9x + 14 = 0
i. 2x2 + 24x + 40 = 0
e. x2 + x − 6 = 0
j. 3x2 + 22x − 16 = 0
Pembahasan :
x2 − 5x + 6 = 0
Dik : a = 1, b = -5, c = 6, ac = 6
Dua bilangan yang kalau dikali sama dengan 6 antara lain : (1 dan 6), (-1 dan -6), (2 dan 3), dan (-2 dan -3). Dari keempat pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -5 kalau dijumlahkan yaitu -2 dan -3. melaluiataubersamaini demikian kita peroleh p = -2 dan q = -3.
Berdasarkan rumus : ⇒ (x + p)(x + q) = 0 ⇒ (x + (-2))(x + (-3)) = 0 ⇒ (x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 2 atau x = 3 Jadi, akar dari x2 − 5x + 6 = 0 yaitu 2 atau 3.
x2 + 7x + 12 = 0
Dik : a = 1, b = 7, c = 12, ac = 12
Dua bilangan yang kalau dikali sama dengan 12 antara lain : (1 dan 12), (-1 dan -12), (2 dan 6), dan (-2 dan -6), (3 dan 4), dan (-3 dan -4). Dari keenam pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai 7 kalau dijumlahkan yaitu 3 dan 4. melaluiataubersamaini demikian kita peroleh p = 3 dan q = 4.
Berdasarkan rumus : ⇒ (x + p)(x + q) = 0 ⇒ (x + 3)(x + 4) = 0 ⇒ x = -3 atau x = -4 Jadi, akar dari x2 + 7x + 12 = 0 yaitu -3 atau -4.
x2 − 5x − 6 = 0
Dik : a = 1, b = -5, c = -6, ac = -6
Dua bilangan yang kalau dikali sama dengan -6 antara lain : (-1 dan 6), (1 dan -6), (2 dan -3), dan (-2 dan 3). Dari keempat pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -5 kalau dijumlahkan yaitu -6 dan 1. melaluiataubersamaini demikian kita peroleh p = -6 dan q = 1.
Berdasarkan rumus : ⇒ (x + p)(x + q) = 0 ⇒ (x + (-6))(x + 1) = 0 ⇒ (x − 6)(x + 1) = 0 ⇒ x = 6 atau x = -1 Jadi, akar dari x2 − 5x − 6 = 0 yaitu -1 atau 6.
x2 + 9x + 14 = 0
Dik : a = 1, b = 9, c = 14, ac = 14
Dua bilangan yang kalau dikali sama dengan 14 antara lain : (1 dan 14), (-1 dan -14), (2 dan 7), dan (-2 dan -7). Dari keempat pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai 9 kalau dijumlahkan yaitu 2 dan 7. melaluiataubersamaini demikian kita peroleh p = 2 dan q = 7.
Berdasarkan rumus : ⇒ (x + p)(x + q) = 0 ⇒ (x + 2)(x + 7) = 0 ⇒ x = -2 atau x = -7 Jadi, akar dari x2 + 9x + 14 = 0 yaitu -2 atau -7.
x2 + x − 6 = 0
Dik : a = 1, b = 1, c = -6, ac = -6
Dua bilangan yang kalau dikali sama dengan -6 antara lain : (1 dan -6), (-1 dan 6), (2 dan -3), dan (-2 dan 3). Dari keempat pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai 1 kalau dijumlahkan yaitu -2 dan 3. melaluiataubersamaini demikian kita peroleh p = -2 dan q = 3.
Berdasarkan rumus : ⇒ (x + p)(x + q) = 0 ⇒ (x − 2)(x + 3) = 0 ⇒ x = 2 atau x = -3 Jadi, akar dari x2 + x − 6 = 0 yaitu -3 atau 2.
4x2 − 12x + 9 = 0
Dik : a = 4, b = -12, c = 9, ac = 36
Dua bilangan yang kalau dikali sama dengan 36 antara lain : (9 dan 4), (-9 dan -4), (6 dan 6), dan (-6 dan -6) dan beberapa yang lain. Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -12 kalau dijumlahkan yaitu -6 dan -6. melaluiataubersamaini demikian kita peroleh p = -6 dan q = -6.
Berdasarkan rumus :
⇒
(ax + p)(ax + q)
=
0
a
⇒
(4x − 6)(4x − 6)
=
0
4
⇒
2(2x − 3).2(2x − 3)
=
0
4
⇒
4 (2x − 3)(2x − 3)
=
0
4
⇒ (2x − 3)(2x − 3) = 0 ⇒ (2x − 3)2 = 0 ⇒ x = 3⁄2
Jadi, akar dari 4x2 − 12x + 9 = 0 yaitu 3⁄2.
2x2 − x − 1 = 0
Dik : a = 2, b = -1, c = -1, ac = -2
Dua bilangan yang kalau dikali sama dengan -2 antara lain : (1 dan -2) dan (-1 dan 2). Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -1 kalau dijumlahkan yaitu 1 dan -2. melaluiataubersamaini demikian kita peroleh p = 1 dan q = -2.
Berdasarkan rumus :
⇒
(ax + p)(ax + q)
=
0
a
⇒
(2x + 1)(2x − 2)
=
0
2
⇒
(2x + 1). 2(x − 1)
=
0
2
⇒
2 (2x + 1)(x − 1)
=
0
2
⇒ (2x + 1)(x − 1) = 0 ⇒ x = -½ atau x = 1.
Jadi, akar dari 2x2 − x − 1 = 0 yaitu -½ atau 1.
3x2 + x − 2 = 0
Dik : a = 3, b = 1, c = -2, ac = -6
Dua bilangan yang kalau dikali sama dengan -6 antara lain : (1 dan -6), (-1 dan 6), (2 dan -3) dan (-2 dan 3). Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai 1 kalau dijumlahkan yaitu -2 dan 3. melaluiataubersamaini demikian kita peroleh p = -2 dan q = 3.
Berdasarkan rumus :
⇒
(ax + p)(ax + q)
=
0
a
⇒
(3x − 2)(3x + 3)
=
0
3
⇒
(3x − 2). 3(x +1)
=
0
3
⇒ (3x − 2)(x + 1) = 0 ⇒ x = 2⁄3 atau x = -1.
Jadi, akar dari 3x2 + x − 2 = 0 yaitu 2⁄3 atau -1.
3x2 − 2x − 8 = 0
Dik : a = 3, b = -2, c = -8, ac = -24
Dua bilangan yang kalau dikali sama dengan -16 antara lain : (3 dan -8), (-3 dan 8), (4 dan -6) dan (-4 dan 6) dan beberapa yang lain. Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -2 kalau dijumlahkan yaitu 4 dan -6. melaluiataubersamaini demikian kita peroleh p = 4 dan q = -6.
Berdasarkan rumus :
⇒
(ax + p)(ax + q)
=
0
a
⇒
(3x + 4)(3x − 6)
=
0
3
⇒
(3x + 4). 3(x − 2)
=
0
3
⇒ (3x + 4)(x − 2) = 0 ⇒ x = -4⁄3 atau x = 2.
Jadi, akar dari 3x2 − 2x − 8 = 0 yaitu -4⁄3 atau 2.
2x2 − 7x + 6 = 0
Dik : a = 2, b = -7, c = 6, ac = 12
Dua bilangan yang kalau dikali sama dengan 12 antara lain : (-3 dan -4), (3 dan 4), (2 dan 6) dan (-2 dan -6) dan beberapa yang lain. Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -7 kalau dijumlahkan yaitu -3 dan -4. melaluiataubersamaini demikian kita peroleh p = -3 dan q = -4.
Berdasarkan rumus :
⇒
(ax + p)(ax + q)
=
0
a
⇒
(2x − 3)(2x − 4)
=
0
2
⇒
(2x − 3). 2(x − 2)
=
0
2
⇒ (2x − 3)(x − 2) = 0 ⇒ x = 3⁄2 atau x = 2.
Jadi, akar dari 2x2 − 7x + 6 = 0 yaitu 3⁄2 atau 2.
Emoticon