Macam-Macam Transformasi (Translasi Dan Rotasi)

1. Transformasi Pergeseran (Translasi)

Segitiga ABC pada gambar di samping digeser menjadi segitiga A’B’C’. Artinya setiap titik pada segitiga ABC tersebut digeser dengan jarak dan arah yang tetap sehingga diperoleh segitiga A’B’C’.
 
Transformasi yang berciri demikian dinamakan pergeseran atau translasi.

Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah pola soal diberikut ini

01. Diketahui dua titik A(–2, 3) dan B(5, 1). Tentukanlah dan gambarkanlah bayangan ruas garis AB kalau ditranslasikan sejauh

Jawab
A(–2, 3) → A’(–2 + 3, 3 + 4) → A’(1, 7)
B(5, 1)   → B’(5 + 3, 1 + 4)   → B’(8, 5)
Atau dengan matriks

Translasi diatas sanggup digambarkan sebagai diberikut:

02. Diketahui titik A(3, -5) digeser sehingga diperoleh bayangan A’(7, 2). melaluiataubersamaini translasi yang sama titik B(-4, -8) akan bergeser menjadi B’. Tentukan koordinat B’
Jawab

Kaprikornus koordinat titik B’(0, –1)

2. Transformasi Perputaran (Rotasi)

Segitiga ABC pada gambar diberikut ini diputar dengan sentra putaran di O(0, 0) dan sudut putar sejauh
α, sehingga menjadi segitiga A’B’C’. Artinya setiap titik pada segitiga ABC tersebut diputar denganpusat dan sudut putar yang tetap sehingga diperoleh segitiga A’B’C’.

Transformasi yang berciri demikian dinamakan perputaran atau rotasi.

Untuk α positif, maka perputarannya berlawanan arah jarum jam. Sedangkan untuk α negatif, maka perputarannya searah jarum jam
Sebuah titik P(x,y) diputar dengan sentra O(0, 0) sejauh α akan diperoleh bayangan P’(x’,y’) dimana:
x’ = x.cos α – y.sin α
y’ = x.sin α + y.cos α

Walaupun rumus di atas diturunkan dengan mengambil α sudut positip, tetapi sanggup ditunjukkan bahwa berlaku untuk tiruana α ( α positip atau α negatif)

Jika sentra putaran di A(h, k) dan sudut putaran sejauh α , maka rumus memilih bayangannya sanggup diturunkan dengan menggeser titik sentra O(0, 0) sejauh

Sehingga kalau titik P(x,y) diputar dengan sentra A(h, k) sejauh α akan diperoleh bayangan P’(x’,y’) dimana :
x’– h = (x – h)cos α – (y – k)sin α
y’– k = (x – h) sin α + (y – k)cos α

Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah pola soal diberikut ini

03. Tentukanlah bayangan titik A(6, –4) kalau diputar sejauh 1350 dengan sentra O(0, 0).
Jawab

04. Diketahui segitiga ABC dimana titik A(6, 2), B(1, 3) dan C(4, 6) diputar sejauh 900 dengan sentra O(0, 0). Tentukanlah koordinat titik bayangan segitiga tersebut

Jawab

Kaprikornus titiknya A’(–2, 6) , B’(–3, 1) dan C’(–6, 4)
Gambarnya

05. Sebuah titik A(x, y) dirotasikan dengan sentra O(0, 0) sejauh 45^o, sehingga diperoleh bayangan A’(2√2 , 6√2 ). Tentukanlah koordinat titik A

Jawab

Bayangan titik A(x, y) yaitu A’(2 2 , 6 2 ) dengan α = 45^o

 

06. Jika titik P(5,-7) dirotasikan sejauh 180^o dengan sentra A(3, 1) sehingga diperoleh bayangan P’. Tentukanlah koordinat P’

Jawab

Diketahui P(5, –7)

Pusat A(3, 1) α = 180^o

Maka 

x’– h = (x – h) cos 180^o – (y – k)sin 180^o

x’– 3 = (5 – 3)cos 180^o – (–7 – 1)sin 180^o

x’– 3 = (2)( –1) – (–8)(0)

x’– 3 = –2 + 0

x’ = 1

y’– k = (x – h) sin 180^o + (y – k) cos 180^o

y’– 1 = (5 – 3) sin 180^o + (–7 – 1) cos 180^o

y’– 1 = (2)(0) + (–8)( –1)

y’– 1 = 0 + 8

y’– 1 = 8

y’ = 9

Kaprikornus titiknya P’(1, 9)