Induksi Matematika

1. Induksi Matematika pada Pembuktian Rumus

Dalam kehidupan sehari hari, kita sering mengambil suatu kesimpulan berdasarkan data-data yang sudah ada.
Kesimpulan tersebut belum valid, alasannya yaitu masih bersifat dugaan (hipotesa)
Kesimpulan akan lebih valid jikalau hipotesa tersebut diuji berdasarkan fakta yang sudah ada. Teknik menyerupai ini ialah inti dari prinsip induksi

Langkah langkah pembuktian rumus dengan induksi matematika :
(1) Langkah mengambil data (base case)
- Ambil beberapa data (n = 1, 2, 3, … )
- Tetapkan kesimpulan sementara /hipotesa (rumus dianggap benar untuk n= k)
(2) Langkah menguji hipotesa (inductive step)
- Rumus diuji dengan pengambilan n = k + 1
Atau Rumus diuji dengan rumus lain yang sudah valid

Untuk lebih jelasnya ikutilah pola soal diberikut ini

01. melaluiataubersamaini induksi matematika buktikanlah bahwa 7²ⁿ⁺¹ +1 habis dibagi 8 untuk n bilangan asli
Jawab

2. melaluiataubersamaini induksi matematika buktikanlah bahwa n(n + 1)(n + 2) habis dibagi 3 untuk n bilangan asli
Jawab
Untuk n = 1, diperoleh 1(1 + 1)(1 + 2) = 6 habis dibagi 3 (terbukti)
Untuk n = 2, diperoleh 2(2 + 1)(2 + 2) = 24 habis dibagi 3 (terbukti)
Untuk n = 3, diperoleh 3(3 + 1)(3 + 2) = 60 habis dibagi 3 (terbukti)
Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya
k(k + 1)(k + 2) habis dibagi 3 (hipotesa)
Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya
[k+1]( [k+1] + 1)( [k+1] + 2) juga habis dibagi 3
Tinjau : [k+1]( [k+1] + 1)( [k+1] + 2) = (k+1)(k+2)(k+3)
                                                             = (k+1)(k+2)k + (k+1)(k+2)3
Karena (k+1)(k+2)k habis dibagi 3 (menurut hipotesa) dan (k+1)(k+2)3 juga habis dibagi 3 maka 81((k+1)(k+2)k + (k+1)(k+2)3 habis dibagi 3
Sehingga [k+1]( [k+1] + 1)( [k+1] + 2) habis diabgi 3
Kaprikornus terbukti bahwa n(n + 1)(n + 2) habis dibagi 3 untuk n bilangan asli

08. Buktikanlah bahwa untuk n ≥ 4 dan n bilangan orisinil berlaku 3ⁿ > n³
Jawab
Ambil n = 4 maka
3⁴ > 4³ artinya 81 > 64 (bernilai benar)
Ambil n = 5 maka
3⁵ > 5³ artinya 243 > 125 (bernilai benar)
Ambil n = 6 maka
3⁶ > 6³ artinya 729 > 216 (bernilai benar)

Disimpulkan sementara (hipotesis), bahwa
Untuk n = k maka
3^k > k³ untuk setiap k bilangan orisinil dan k ≥ 4
Akan dibuktikan bahwa Untuk n = k + 1 maka
3^k+1 > (k+1)³

2. Induksi Matematika pada Pembuktian Rumus


Langkah-langkah pembuktian :
(1) Tunjukkan bahwa rumus S(n) benar untuk n = 1, 2, 3
(2) Anggap bahwa rumus S(n) benar untuk n = k
(3) Akan dibuktikan bahwa rumus Sn benar untuk n = k + 1

Untuk lebih jelasnya ikutilah pola soal diberikut ini

01. melaluiataubersamaini induksi matematika buktikanlah rumus 3 + 7 + 11 + 15 + … + (4n – 1) = n(2n + 1)
Jawab
Untuk n = 1, diperoleh 3 = 1(2[1] + 1) = 3 (terbukti)
Untuk n = 2, diperoleh 3 + 7 = 2(2[2] + 1) = 10 (terbukti)
Untuk n = 3, diperoleh 3 + 7 + 11 = 3(2[3] + 1) = 21 (terbukti)

Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya
3 + 7 + 11 + 15 + … + (4k – 1) = k(2k + 1) yaitu benar (hipotesa)
Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya
3 + 7 + 11 + 15 + … + (4k – 1) + (4[k+1] – 1) = [k+1](2[k+1] + 1)
Bukti:
Ruas Kiri = 3 + 7 + 11 + 15 + … + (4k – 1) + (4[k+1] – 1)
                = k(2k + 1) + (4[k+1] – 1)
                = 2k² + k + 4k + 4 – 1
                = 2k² + 5k + 3
                = (k + 1)(2k + 3)
                = (k + 1)(2k + 2 + 1)
                = (k + 1)(2[k+1] + 1) = Ruas Kanan (terbukti)

Kaprikornus terbukti rumus 3 + 7 + 11 + 15 + … + (4n – 1) = n(2n + 1)

^{02. melaluiataubersamaini induksi matematika buktikanlah bahwa :}

03. melaluiataubersamaini induksi matematika buktikanlah bahwa :