Contoh Soal Dan Balasan Membentuk Fungsi Kuadrat

1. Sebuah fungsi kuadrat memotong sumbu x di P(1,0) dan Q(2,0). Jika fungsi kuadrat tersebut melalui titik (0,6), maka persamaan fungsi kuadrat tersebut yaitu .....

   A. y = f(x) = 3x2 + 6x + 9

   B. y = f(x) = 3x2 − 9x + 6

   C. y = f(x) = 3x2 + 9x + 6

   D. y = f(x) = 3x2 − 9x − 6

   E. y = f(x) = 3x2 − 6x + 9

   
   Pembahasan :
   Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik (x₁,0) dan (x₂, 0), serta melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya sanggup ditetapkan dengan :
   
   Substitusikan nilai x dan y dari titik-titik yang diketahui kemudan cari nilai a. Sesudah nilai a diperoleh, masukkan nilai tersebut ke dalam persamaan.
   
   Pada soal diketahui :
   x₁ = 1 dan x₂ = 2, y = 6
   
   Substitusi nilai x :
   ⇒ y = f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
   ⇒ y = a(x − 1)(x − 2)
   
   Selanjutnya kita substitusikan nilai y dari titik (0,6). Arti dari titik tersebut adalah, nilai x pada persamaan fungsi kuadrat akan bernilai nol kalau y = 6. Kita peroleh nilai a :
   ⇒ y = a(x − 1)(x − 2)
   ⇒ 6 = a(0 − 1)(0 − 2)
   ⇒ 6 = a(-1)(-2)
   ⇒ a = 3
   
   Substitusi nilai a :
   ⇒ y = 3(x − 1)(x − 2)
   ⇒ y = 3(x² − 3x + 2)
   ⇒ y = 3x² − 9x + 6
   Jadi, persamaan fungsi kuadratnya yaitu y = f(x) = 3x² − 9x + 6.
   

   Jawaban : B
   
   
2. Jika sebuah fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di titik (4,0) dan melalui titik (0,16), maka persamaan fungsi kuadrat tersebut yaitu .....

   A. f(x) = x2 − 8x + 16	D.  f(x) = x2 − 16x + 8
   B. f(x) = x2 + 8x + 16	E.  f(x) = x2 + 16x − 8
   C. f(x) = x2 − 8x − 16

   
   Pembahasan :
   Jika grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di titik (x₁,0), dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya ditetapkan dengan :
   
   

   y = f(x) = a(x − x1)2

   
   Pada soal diketahui x₁ = 4, y = 16.
   
   Substitusi nilai x :
   ⇒ y = f(x) = a(x − x1)²
   ⇒ y = a(x − 4)²
   
   Substitusi nilai y = 16 dan x = 0 untuk mencari nilai a.
   ⇒ y = a(x − 4)²
   ⇒ 16 = a(0 − 4)²
   ⇒ 16 = 16a
   ⇒ a = 1
   
   Substitusi nilai a :
   ⇒ y = a(x − 4)²
   ⇒ y = 1(x² − 8x + 16)
   ⇒ y = x² − 8x + 16
   

   Jawaban : A
   
   
3. Sebuah fungsi kuadrat melalui klimaks (2,0). Jika fungsi kuadrat tersebut melalui titik (0,4), maka persamaan fungsi kuadrat tersebut yaitu .....

   A. f(x) = x2 + 4x + 4	D. f(x) = x2 − 2x + 4
   B. f(x) = x2 − 4x + 4	E. f(x) = x2 + 2x + 4
   C. f(x) = x2 − 4x − 4

   
   Pembahasan :
   Jika grafik fungsi kuadrat melalui klimaks atau titik balik P(p,q), dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya ditetapkan dengan :
   
   

   y = f(x) = a(x − p)2 + q

   
   Pada soal diketahui p = 2, q = 0, y = 4.
   
   Substitusi nilai p dan q :
   ⇒ y = f(x) = a(x − p)² + q
   ⇒ y = a(x − 2)² + 0
   ⇒ y = a(x − 2)²
   
   Substitusi nilai x = 0, dan y = 4 :
   ⇒ y = f(x) = a(x − 2)²
   ⇒ 4 = a(0 − 2)²
   ⇒ 4 = 4a
   ⇒ a = 1
   
   Substitusi nilai a :
   ⇒ y = a(x − 2)²
   ⇒ y = 1(x − 2)² 
   ⇒ y = x² − 4x + 4
   

   Jawaban : B
   
   
4. Jika sebuah fungsi kuadrat melalui titik (0,12) dan memotong sumbu x di titik A(3,0) dan B(4,0), maka persamaan fungsi kuadrat tersebut yaitu ....

   A. f(x) = x2 + 7x + 12	D. f(x) = x2 − 12x + 7
   B. f(x) = x2 − 7x − 12	E. f(x) = x2 + 12x + 7
   C. f(x) = x2 − 7x + 12

   
   Pembahasan :
   Dik : x₁ = 3 dan x₂ = 4, y = 12
   
   Substitusi nilai x :
   ⇒ y = f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
   ⇒ y = a(x − 3)(x − 4)
   
   Substitusi nilai x = 0, dan y = 12 :
   ⇒ y = a(x − 3)(x − 4)
   ⇒ 12 = a(0 − 3)(0 − 4)
   ⇒ 12 = a(-3)(-4)
   ⇒ a = 1
   
   Substitusi nilai a :
   ⇒ y = 1(x − 3)(x − 4)
   ⇒ y = x² − 7x + 12
   Jadi, persamaan fungsi kuadratnya yaitu y = f(x) = x² − 7x + 12.
   

   Jawaban : C
   
   
5. Persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik-titik (0,-6), (-1,0), dan (1,-10) yaitu ....

   A. f(x) = x2 − 5x − 6	D. f(x) = x2 − 2x − 3
   B. f(x) = x2 + 5x − 6	E. f(x) = x2 − 6x − 5
   C. f(x) = x2 − 5x + 6

   
   Pembahasan :
   Jika grafik fungsi kuadrat melalui tiga titik (x₁,y₁), (x₂,y₂), dan (x₃,y₃), maka persamaan fungsi kuadratnya sanggup dinyatakn dengan :
   
   

   y = f(x) = ax2 + bx + c

   
   Substitusi nilai x dan y dari titik-titik yang diketahui sehingga diperoleh :
   Untuk titik (0,-6) :
   ⇒ -6 = a.0² + b.0 + c
   ⇒ c = -6
   Untuk titik (-1,0) :
   ⇒ 0 = a.(-1)² + b.(-1) + c
   ⇒ 0 = a − b + c
   ⇒ a − b = -c
   ⇒ a − b = -(-6)
   ⇒ a − b = 6
   ⇒ a = 6 + b
   
   
   Untuk titik (1,-10) :
   ⇒ -10 = a.1² + b.1 + c
   ⇒ -10 = a + b + c
   ⇒ a + b = -10 − c
   ⇒ a + b = -10 − (-6)
   ⇒ a + b = -4
   ⇒ 6 + b + b = -4
   ⇒ 6 + 2b = -4
   ⇒ 2b = -10
   ⇒ b = -5, maka a = 6 + (-5) = 1
   
   
   Maka persamaan fungsi kuadratnya yaitu :
   y = f(x) = ax² + bx + c
   y = f(x) = 1x² + (-5)x + (-6)
   y = f(x) = x² − 5x − 6
   Jawaban : A