Menentukan Beda Barisan Aritmatika Kalau Diketahui Sebarang Suku

.com - Hubungan Sebarang Suku dengan Beda. Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi sudah mengulas cara memilih beda barisan aritmatika untuk beberapa kondisi yang umum. Salah satu kondisi yang dibahas ialah memilih beda barisan bila dua suku yang tidak berdekatan diketahui. Jika pada soal diketahui dua suku sebarang yang tidak berdekatan atau tidak berurutan, maka salah satu cara memilih beda barisannya ialah dengan memanfaatkan konsep sistem persamaan linear dua variabel. Akan tetapi, soal menyerupai itu juga sanggup diselesaikan tanpa konsep persamaan linear dua variabel. Teknik lain yang sanggup dipakai ialah dengan menyatakan kekerabatan sebarang suku yang diketahui melalui beda barisan. Bagaimana caranya? Untuk lebih jelasnya perhatikan pembahasan diberikut ini.

A. Hubungan Dua Suku Berdekatan

Hubungan antara dua suku yang berdekatan (berurutan) dalam suatu barisan arimatika sanggup dilihat melalui persamaan atau rumus memilih beda. Dari rumus tersebut terperinci bahwa selisih antara dua suku berdekatan dalam suatu barisan aritmatika ialah beda barisan tersebut.

Persamaan rumus memilih beda barisan sanggup ditulis dalam bentuk yang tidak sama untuk menyatakan bagaimana kekerabatan antara dua suku yang berdekatan. melaluiataubersamaini bentuk lain, akan terlihat bahwa suku ke-n suatu barisan aritmatika ialah jumlah dari suku sebelumnya dengan beda barisan tersebut. Hubungan tersebut tanpak pada persaman di bawah ini :

Un = Un-1 + b

Keterangan :
Un = suku ke-n barisan aritmatika (n = 1, 2, 3, ...)
U_n-1 = sebuah suku sebelum suku ke-n
b = beda barisan atau selisih antara dua suku berdekatan.

Dari persamaan di atas sanggup diketahui bahwa suku ketiga suatu barisana aritmatika ialah jumlah dari suku kedua ditambah beda barisan, suku keempat ialah jumlah dari suku ketiga ditambah beda barisan, dan begitu seterusnya. Hubungan tersebut ialah konsep dasar aritmatika yang harus dipahami.

misal :
Diketahui barisan aritmatika : 45, 51, 57, 63, 69, 75. Tentukanlah beda barisan tersebut.

Pembahasan :
Untuk soal dasar menyerupai ini, beda barisan sanggup dengan praktis diketahui alasannya ialah beda barisan ialah selisih antara dua suku barisan yang berdekatan, sehingga sanggup ditentukan dengan menghitung selisih antar suku-suku yang diketahui.

Beda barisan :
⇒ b = 51 - 45 = 57 - 51 = 63 - 57
⇒ b = 6 = 6 = 6
⇒ b = 6

Jadi, beda barisan tersebut ialah 6.

B. Hubungan Sebarang Suku

Lalu bagaimana bila pada soal tidak diketahui dua suku yang berdekatan? Jika pada soal spesialuntuk diketahui dua atau beberapa suku sebarang yang posisinya tidak berdekatan, bagaimana kekerabatan antara suku-suku tersebut melalui beda barisan?

Misal didiberi barisan aritmatika sebagai diberikut :
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30.

Dari data di atas, sanggup diketahui suku kelima dan suku kedelapan barisan tersebut ialah 18 dan 30. Bagaimana kekerabatan kedua suku tersebut bila ditetapkan melalui beda barisan? Hubungan tersebut terlihat pada penurunan persamaan sebagai diberikut:

Persamaan untuk suku kedelapan :
Suku ke-8 ialah jumlah antara suku ke-7 ditambah beda barisan.
⇒ U₈ = U₇ + b
⇒ U₈ = (U₆ + b) + b
⇒ U₈ = U₆ + b + b
⇒ U₈ = (U₅ + b) + b + b
⇒ U₈ = U₅ + b + b + b
⇒ U₈ = U₅ + 3b

Sekarang mari kita buktikan persamaan di atas sesuai atau tidak. Pada soal diketahui beda barisan ialah 4 (6 - 2 = 4). melaluiataubersamaini demikian suku kedelapan barisan tersebut adalah:
⇒ U₈ = U₅ + 3b
⇒ U₈ = 18 + 3(4)
⇒ U₈ = 18 + 12
⇒ U₈ = 30 (Benar).

Dari penurunan di atas, ternyata diperoleh kekerabatan antara suku kedelapan dan suku kelima. Hubungan tersebut ternyata mempunyai pola khusus yang berlaku untuk tiruana sebarang suku dalam barisan aritmatika. Jika ditetapkan dalam persamaan umum, maka kekerabatan sebarang suku ialah sebagai diberikut:

Un = Un-k + kb

Keterangan :
Un = suku ke-n barisan aritmatika (n = 1, 2, 3, ...)
U_n-k = suku sebarang sebelum suku ke-n (k = 1, 2, 3, ...)
b = beda barisan atau selisih antara dua suku berdekatan.

misal :
Jika diketahui suku keenam dan suku kesepuluh suatu barisan aritmatika ialah 9 dan 25, maka tentukanlah beda barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : U₆ = 9, U₁₀ =25
Dit : b = .... ?

Nyatakan suku ke-10 dalam bentuk suku ke-6 :
Untuk menyatakan suku ke-10 ke dalam bentuk persamaan di atas, maka kita tentukan nilai k yang bersesuaian. Nilai k ialah selisih n antara suku ke-10 dengan suku ke-6 :
⇒ k = 10 - 6
⇒ k = 4

melaluiataubersamaini demikian kita peroleh n = 10 dan k = 4. Selanjutnya substitusi nilai n dan k ke persamaan umum kekerabatan sebarang suku sebagai diberikut:
⇒ U_n = U_n-k + kb
⇒ U₁₀ = U_10-4 + 4b
⇒ U₁₀ = U₆ + 4b
⇒ 25 = 9 + 4b
⇒ 4b = 25 - 9
⇒ 4b = 16
⇒ b = 4

Jadi, beda barisan tersebut ialah 4. melaluiataubersamaini cara ini kita tidak perlu menyusun sistem persaman linear dua variabel menyerupai pada pembahasan sebelumnya.

Perhatikan beberapa pola kekerabatan sebarang suku diberikut ini:
a). U₁₀ dan U₄ → U₁₀ = U₄ + 6b
b). U₈ dan U₃ → U₈ = U₃ + 5b
c). U₁₂ dan U₈ → U₁₂ = U₈ + 4b.